9.
СМ — биссектриса тре-
угольника ABC, CM = MB,
угол САВ в 3 раза больше
угла В. Найдите граду-
сную меру угла CMB.
ответ:​

Для того чтобы найти градусную меру угла CMB, сначала нам нужно разобраться в информации, которая дана.

У нас есть треугольник ABC, и СМ является его биссектрисой. В условии также сказано, что CM равно MB. Это означает, что отрезок CM равен отрезку MB и можно предположить, что треугольник CMB является равнобедренным.

Далее, в условии сказано, что угол САВ в 3 раза больше угла В. Пусть угол В равен x градусам. Тогда угол САВ будет равен 3x градусам.

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Так как треугольник CMB является равнобедренным, углы С и М равны между собой. Обозначим градусную меру угла СМВ как y.

Имеем уравнение: 3x + x + y = 180

Угол CMB является внутренним углом треугольника CMB, вместе с В и М. Сумма градусных мер этих углов равна 180 градусам. Так как С и М равны между собой, имеем еще одно уравнение: y + x + y = 180

Теперь у нас есть система уравнений:

3x + x + y = 180
y + x + y = 180

Сгруппируем переменные:

4x + 2y = 180
2y + x = 180

Мы можем использовать метод замены или метод сложения-вычитания для решения этой системы уравнений. Метод сложения-вычитания кажется более удобным в данном случае.

Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от коэффициента 2 в уравнении:

4x + 2y = 180
4y + 2x = 360

Вычтем первое уравнение из второго:

(4y + 2x) - (4x + 2y) = 360 - 180

2y - 2x = 180

Упростим:

2(y - x) = 180

Разделим оба выражения на 2:

y - x = 90

Теперь имеем уравнение, которое позволяет найти разность между углом CMB и углом СМВ.

Вспомним, что угол В равен x градусам. Заменим x:

y - x = 90
y - (3x) = 90

y - 3x = 90

Теперь мы можем решить систему уравнений:

4x + 2y = 180
y - 3x = 90

Используя метод сложения-вычитания, умножим второе уравнение на 2:

4x + 2y = 180
2y - 6x = 180

Вычтем первое уравнение из второго:

(2y - 6x) - (4x + 2y) = 180 - 180

-10x = 0

Таким образом, мы получаем x = 0.

Подставим это значение обратно в уравнение:

y - 3(0) = 90

y = 90

Таким образом, градусная мера угла CMB равна 90 градусам.