8) вершины квадрата соединили отрезками с серединами сторон так, как показано на рисунке. докажите, что закрашенная на рисунке фигура – квадрат

Для доказательства того, что закрашенная фигура на рисунке является квадратом, мы можем воспользоваться таким подходом:

Шаг 1: Ознакомление с данными
Возьмем во внимание начальные условия задачи: у нас имеется квадрат и мы соединяем его вершины с серединами сторон.

Шаг 2: Исследование свойств фигуры
Давайте посмотрим, какие свойства у нас есть для данной фигуры:
- Она ограничена четырьмя отрезками;
- Углы между этими отрезками равны;
- У отрезков находятся общие точки: вершины квадрата и середины его сторон.

Шаг 3: Построение гипотезы
Исходя из этих наблюдений, можно предположить, что данная фигура является квадратом.

Шаг 4: Обоснование гипотезы

Для обоснования нашей гипотезы, нам необходимо доказать, что:
- Стороны фигуры равны по длине;
- Углы в фигуре прямые.

Давайте посмотрим на первую часть.

На рисунке видно, что отрезки, соединяющие вершины квадрата и середины его сторон, являются диагоналями полученной фигуры.

Тогда заметим, что триугольники, образованные этими диагоналями, являются равнобедренными. Это следует из того, что они имеют два равных угла и две равные стороны.

Так как диагонали в квадрате перпендикулярны и делят его на два равных прямоугольных треугольника, то мы можем применить теорему Пифагора для каждого из этих треугольников.

Получим следующие уравнения:
(отметим a - длина стороны квадрата)
a^2 = h^2 + (a/2)^2 и a^2 = (a/2)^2 + h^2,

где h - высота равнобедренного треугольника, a - длина стороны квадрата.

Если мы заменим каждый корень на его алгебраическое значение и решим уравнения, мы получим длину стороны внутреннего квадрата (пункт 5).

В отношении углов, пусть угол A будет возле левого нижнего угла большого квадрата (пункт 3).

Очевидно, что угол B находится под прямым углом относительно точки B.

Также углы, образованные пересечением диагоналей, равны друг другу, что дает нам четыре прямых угла внутри нашей фигуры.

Шаг 5: Выводы
Поскольку длины сторон получившегося квадрата и показанного на рисунке у нас совпали, а углы оказались прямыми, мы можем сделать вывод, что закрашенная фигура действительно является квадратом.

Таким образом, наши рассуждения и доказательства подтверждают, что закрашенная фигура на рисунке - это квадрат.