8. Пусть на рисунке 7: а) <3=<4, BD=CE, AB=EF: б) <1=<2, <3=<4, BD=CE; в) АВ = EF, BD = ЕС, AC=FD. Покажите, что ∆АВС =∆ЕFD.

Для того чтобы доказать, что треугольники ABC и EFD равны между собой (т.е. AB=EF, BC=FD и AC=ED), нам нужно воспользоваться известными фактами и свойствами треугольников.

а) Начнем с анализа случая, когда <3=<4, BD=CE и AB=EF.

Вспомним, что равные углы треугольников соответственно равны. Это означает, что <3=<4, и, таким образом, углы ABC и EFD равны.

Теперь обратимся к свойству равных треугольников, которое говорит, что если два треугольника имеют равные углы и равные стороны, то они равны в целом.

У нас есть равные углы (ABC и EFD), а также равные стороны (AB=EF), следовательно, треугольники ABC и EFD равны.

б) Теперь рассмотрим случай, когда <1=<2, <3=<4 и BD=CE.

Снова воспользуемся свойством равных треугольников. Из условия следует, что углы треугольников ABC и EFD равны (т.к. <1=<2 и <3=<4).

Также, имеется равенство BD=CE. Рассмотрим правильную нумерацию точек. При этом, поскольку BD=CE, мы можем заметить, что точки B и C являются серединами отрезков DE и EF соответственно.

Теперь, представим себе равнобокую трапецию DEFC. В такой трапеции параллельные стороны равны. Так как BD=CE, то BC=EF.

То есть, у нас получается, что треугольники ABC и EFD имеют равные углы и одну равную сторону, а также равные параллельные стороны. Значит, они равны в целом.

в) Наконец, рассмотрим случай, когда AB = EF, BD = EC и AC = FD.

Поскольку AB = EF, AC = FD и BD = EC, мы можем сделать несколько выводов:

1. Треугольники ABC и EFD имеют равные стороны AB = EF, AC = FD и BD = EC.
2. Треугольники ABC и EFD имеют равные углы <3 = <4 и <1 = <2.

Таким образом, у нас снова есть равные углы и стороны, что говорит о том, что треугольники ABC и EFD равны.

В итоге, во всех трех случаях мы получаем равные треугольники, что подтверждает равенство треугольников ABC и EFD.