7 4. В прямоугольном треугольнике ABC высота АК делит гипотенузу на отрезки ВК= 3 см и
КС=2 см. Найдите катеты треугольника.

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать теорему Пифагора, а также свойства прямоугольного треугольника.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где гипотенуза АС и высота АК разделяются отрезком КС=2 см, а оставшаяся часть гипотенузы ВК=3 см.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой АС и катетами АВ и ВС, справедливо равенство квадратов гипотенузы равно сумме квадратов катетов: АС² = АВ² + ВС².

Таким образом, мы можем записать уравнение, используя данную теорему:
АС² = ВК² + КС².

Для нахождения катетов треугольника, нам необходимо выразить их из данного уравнения.

Подставим известные значения:
АС² = (ВК)² + (КС)²,
АС² = 3² + 2²,
АС² = 9 + 4,
АС² = 13.

Таким образом, мы получили квадрат гипотенузы АС. Чтобы найти саму гипотенузу АС, необходимо извлечь квадратный корень из этого значения: АС = √13.

Теперь нам нужно найти катеты треугольника. Для этого мы воспользуемся пропорцией между отрезками гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике высота АК является подобным треугольником треугольником АКВ. Поэтому отношение отрезков ВК и КС будет таким же, как отношение отрезков КВ и АС: ВК/КС = КВ/АС.

Подставим известные значения:
3/2 = КВ/√13.

Теперь нам остается только найти длину отрезка КВ. Для этого умножим оба значения отношения на √13:
(3/2) * √13 = КВ.

Выполним данное умножение:
(3 * √13) / 2 = КВ.

Таким образом, мы нашли длину отрезка КВ. Осталось найти длину отрезка КС, чтобы найти длины катетов треугольника. Для этого вычтем длину КВ из длины гипотенузы (АС) (поскольку АС = КВ + КС):
√13 - [(3 * √13) / 2] = КС.

Выполним данное вычитание:
(2√13 - 3√13) / 2 = КС,
(-√13) / 2 = КС.

Таким образом, мы получили длину отрезка КС.

Итак, ответ:
Длина первого катета равна (3 * √13) / 2, длина второго катета равна (-√13) / 2.

Обоснование и пояснение ответа:
Мы использовали теорему Пифагора, свойства прямоугольного треугольника и подобные треугольники для решения данной задачи. Каждый шаг решения был подробно описан и объяснен, чтобы ответ был понятен школьнику.