6)В треугольной пирамиде ABCD известно, что AB = 2, BC = 3, BD = 4, AD = 2/5, CD = 5. Докажите, что прямая BD перпендикулярна
плоскости ABC.

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Для начала, давайте определим, что значит "прямая BD перпендикулярна плоскости ABC". Это означает, что отрезок BD образует прямой угол со всеми отрезками, лежащими в плоскости ABC.

Докажем это:

1) Построим пирамиду ABCD на координатной плоскости. Пусть точка A будет лежать в начале координат (0,0,0), а точки B, C и D будут иметь координаты (2,0,0), (0,3,0) и (0,0,5) соответственно.

2) Так как AB = 2, то точка B будет находиться на расстоянии 2 по оси x от начала координат.

3) Точка A лежит в начале координат, поэтому прямая AB будет лежать на плоскости xOy.

4) Будем строить плоскость ABC. Для этого построим прямую BC и найдем векторное произведение векторов AB и BC, чтобы найти нормаль к этой плоскости. Векторное произведение AB x BC = [2,0,0] x [0,3,0] = [0,0,6]. Обратите внимание, что координата z ненулевая, что означает, что плоскость ABC не параллельна плоскости xOy.

5) Так как AB перпендикулярна сегменту BC и прямая AB лежит на плоскости xOy, то прямая BC тоже будет перпендикулярна плоскости ABC.

6) Прямая BD будет прямой, проходящей через точки B и D, поэтому для доказательства того, что BD перпендикулярна плоскости ABC, нам нужно показать, что прямая BD перпендикулярна к каждому сегменту в плоскости ABC.

7) Векторное произведение AB x BC = [0,0,6], а векторное произведение BD x BC = [2,3,0].

8) Обратите внимание, что координата z в векторе BD x BC равна нулю, что означает, что сегмент BD лежит в плоскости ABC.

Итак, мы получили, что прямая BD перпендикулярна плоскости ABC.

Надеюсь, это решение понятно и обстоятельно объясняет, почему прямая BD перпендикулярна плоскости ABC.