5. вычислить sin³(- 9п/4)+ cos²(- 5п/2)

6. докажите тождество 4sin⁴a+sin²2a=4sin²a

8. преобразуйте в сумму sin 5п/12 * sin п/12

10. решить уравнения:

а) cos3x*cosx=cos7x*cos5x

б) 2cos(п/2 + x) = 1

, как можно понятнее распишите)

5. Для вычисления данного выражения, мы можем использовать тригонометрические тождества и значений синуса и косинуса для особых углов.

sin³(-9π/4) = sin³(-2π - π/4) = sin³(-π/4)
cos²(-5π/2) = cos²(-2π - π/2) = cos²(-π/2)

Значение синуса и косинуса для угла -π/4 следующие:
sin(-π/4) = -√2/2
cos(-π/4) = √2/2

Подставляя значения синуса и косинуса для -π/4, получаем:

sin³(-π/4) = (-√2/2)³ = -√2/2 * -√2/2 * -√2/2 = -√2/8
cos²(-π/2) = (√2/2)² = √2/2 * √2/2 = 2/4 = 1/2

Теперь, сложим результаты:
-√2/8 + 1/2 = -√2/8 + 4/8 = (4 - √2) / 8

Ответ: (4 - √2) / 8

6. Для доказательства данного тождества, мы будем использовать формулу двойного угла и формулу синуса квадрата.

Сначала применим формулу двойного угла для sin²2a:
sin²2a = (2sin2a * cos2a)

Теперь, применим формулу синуса квадрата для sin4a:
sin²4a = (1 - cos2(4a))/2

Таким образом, у нас есть следующее:
4 * sin²a * cos²a + sin²4a = 4sin²a * (1 - sin²a) + (1 - cos8a)/2

Применяем формулу двойного угла для cos8a:
cos8a = 1 - 2sin²4a
(1 - cos8a) = 2sin²4a

Получаем следующее:
4sin²a * (1 - sin²a) + 2sin²4a = 4sin²a - 4sin⁴a + 2sin²4a

Теперь, осталось объединить и упростить выражение:
4sin²a - 4sin⁴a + 2sin²4a = 4sin²a + 2sin²4a - 4sin⁴a
= 4sin²a + 2(2sin²a * cos²a) - 4sin⁴a
= 4sin²a + 4sin²a * cos²a - 4sin⁴a
= 4sin²a(1 + cos²a) - 4sin⁴a
= 4sin²a - 4sin⁴a + 4sin²a * cos²a - 4sin⁴a
= 8sin²a * cos²a

Ответ: 8sin²a * cos²a

8. Для преобразования данного выражения в сумму, мы будем использовать формулу удвоенного аргумента для синуса и выражение sin(α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ.

sin(5π/12) = 2sin(π/4) * cos(π/6) (по формуле удвоенного аргумента для синуса)
= 2(√2/2) * (√3/2)
= √6/2 = √6/2

sin(π/12) = sin(π/6 + π/12) (по формуле синуса суммы углов)
= sin(3π/12) = sin(π/4)
= √2/2

Подставляя значения:

sin(5π/12) * sin(π/12) = (√6/2) * (√2/2)
= (√12/4) = √12/4

Ответ: √12/4

10. а) Для решения этого уравнения, мы будем использовать формулу cos(α - β) = cosα * cosβ + sinα * sinβ.

cos3x * cosx = cos7x * cos5x

Применим формулу cos(α - β) и используемся свойство коммутативности умножения:

(cos3x * cosx) - (cos7x * cos5x) = 0

cos(3x - x) - cos(7x - 5x) = 0

cos2x - cos2x = 0

Уравнение упрощается до 0 = 0, что означает, что любое значение x является решением этого уравнения.

Ответ: Любое значение x является решением данного уравнения.

б) Для решения этого уравнения, мы будем использовать формулу cos(α + β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ.

2cos(π/2 + x) = 1

Применим формулу cos(α + β):

2(cos(π/2) * cosx - sin(π/2) * sinx) = 1

2(0 * cosx - 1 * sinx) = 1

-2sinx = 1

sinx = -1/2

Для нахождения значений x, у нас есть несколько решений. Одно из самых распространенных значений, это x = -π/6 или x = 5π/6.

Ответ: x = -π/6 или x = 5π/6.