45 найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [ 0; 2pi] . y = 2sinx+cos2x.

y = 2sin x + cos 2x

Производная

y' = 2cosx - 2 sin 2x

Критические точки при y' = 0:

Решаем уравнение

2cos x - 2sin 2x = 0

cos x - 2sin x · cos x = 0

cos x · (1 - 2sin x) = 0

1) cos x = 0 в заданном интервале это уравнение имеет 2 решения:

х1 = π/2 и х2 = 3π/2

2) 1 - 2sin x = 0

sin x = 1/2 в заданном интервале это уравнение имеет два решения:

х3 = π/6 и х4 = 5π/6

Разбиваем весь интервал от 0 до 2π критическими точками и проверяем знаки производной в каждом из интервалов. Получаем такую картину:

      +           -            +                  -                   +

. . . . . .

0        π/6          π/2          5π/6           3π/2                2π

В точках х = π/6 и х = 5π/6  максимум уmax = 2·0.5 + 0.5 = 1.5

В точке х = π/2 локальный минимум уmin = 2·1 + (-1) = 1

В точке х = 3π/2 также локальный минимум уmin = 2·(-1) + (-1) = -3

На концах интервала

х = 0 у = 0 + 1 = 1

х = 2π у = 0 + 1 = 1

ответ: у наиб = 1,5; у наим - -3

Y=2sinx+cos2x ; [0;2π]
y'=2cosx-2sin2x
y'=0
2cosx-2sin2x=0
cosx-2sinx•cosx=0
cosx(1-2sinx)=0
cosx=0;x=π/2;x=3π/2
sinx=1/2;x=π/6;x=5π/6
y(0)=2sin0+cos0=1
y(2π)=2sin2π+cos4π=1
y(π/2)=2•sinπ/2+cos(2*π/2)=2-1=1
y(3π/2)=2•sin3π/2+cos3π
=-2-1=-3
y(π/6)=2•sinπ/6+cosπ/3=
2•1/2+1/2=3/2
y(5π/6)=2•sin5π/6+cos5π/3=2•1/2+cos(2π-π/3)
=1+1/2=3/2
ymax=3/2
ymin=-3