40% шестерён, лежащих в ящике, изготовлены на заводе № 1, остальные - на заводе № 2. из ящика взяли наудачу 7 шестерен. какова вероятность того, что среди них окажутся изготовленными заводом № 2: а) три шестерни; в) не более двух шестерен?

Добрый день! Рад принять роль школьного учителя и помочь вам решить данную задачу. Давайте разберем ее пошагово:

Дано:
- 40% шестерен в ящике изготовлены на заводе № 1, остальные - на заводе № 2.
- Из ящика взяли наудачу 7 шестерен.

Нам необходимо найти вероятность того, что среди взятых шестерен изготовлены заводом № 2.

а) Требуется найти вероятность, что среди 7 взятых шестерен окажутся 3 шестерни, изготовленные на заводе № 2.

Шаг 1: Найдем вероятность взять одну шестерню, изготовленную на заводе № 2.
Вероятность взять одну шестерню с завода № 2 равна 60%, так как известно, что 40% шестерен изготовлено на заводе № 1.
P(шестерня из завода № 2) = 60% = 0.6

Шаг 2: Найдем вероятность того, что среди 7 взятых шестерен окажутся 3 шестерни из завода № 2.
Для этого воспользуемся формулой комбинаторики "C(n, k)" (сочетание из n по k):
P(3 шестерни из завода № 2) = C(7, 3) * (P(шестерня из завода № 2))^3 * (1 - P(шестерня из завода № 2))^(7-3)
P(3 шестерни из завода № 2) = C(7, 3) * (0.6)^3 * (1 - 0.6)^(7-3)

Здесь C(7, 3) - количество комбинаций, удовлетворяющих условию выбора 3 шестерен из 7, и равно 35.

Вычислим значение:

P(3 шестерни из завода № 2) = 35 * (0.6)^3 * (1 - 0.6)^(7-3)
P(3 шестерни из завода № 2) ≈ 0.0595

Ответ:
Вероятность того, что среди 7 взятых шестерен окажутся 3 шестерни, изготовленные на заводе № 2, составляет примерно 0.0595 или около 5.95%.

б) Теперь рассмотрим случай, когда необходимо найти вероятность, что среди 7 взятых шестерен окажутся не более двух шестерен из завода № 2.

Шаг 1: Найдем вероятность взять одну шестерню, изготовленную на заводе № 2 (P(шестерня из завода № 2)) - 0.6 или 60%.

Шаг 2: Найдем вероятность того, что среди 7 взятых шестерен окажутся 0 шестерен из завода № 2.
P(0 шестерен из завода № 2) = (1 - P(шестерня из завода № 2))^7

Вычислим значение:

P(0 шестерен из завода № 2) = (1 - 0.6)^7 ≈ 0.02799

Шаг 3: Найдем вероятность того, что среди 7 взятых шестерен окажется 1 шестерня из завода № 2.
P(1 шестерня из завода № 2) = C(7, 1) * (P(шестерня из завода № 2))^1 * (1 - P(шестерня из завода № 2))^(7-1)

Здесь C(7, 1) - количество комбинаций, удовлетворяющих условию выбора 1 шестерни из 7, и равно 7.

Вычислим значение:

P(1 шестерня из завода № 2) = 7 * (0.6)^(1) * (1 - 0.6)^(7-1) ≈ 0.33592

Шаг 4: Найдем вероятность того, что среди 7 взятых шестерен окажутся 2 шестерни из завода № 2.
P(2 шестерни из завода № 2) = C(7, 2) * (P(шестерня из завода № 2))^2 * (1 - P(шестерня из завода № 2))^(7-2)

Здесь C(7, 2) - количество комбинаций, удовлетворяющих условию выбора 2 шестерен из 7, и равно 21.

Вычислим значение:

P(2 шестерни из завода № 2) = 21 * (0.6)^2 * (1 - 0.6)^(7-2) ≈ 0.373248

Шаг 5: Найдем вероятность того, что среди 7 взятых шестерен окажутся не более двух шестерен из завода № 2.
P(не более 2 шестерен из завода № 2) = P(0 шестерен из завода № 2) + P(1 шестерня из завода № 2) + P(2 шестерни из завода № 2)

Вычислим значение:

P(не более 2 шестерен из завода № 2) = 0.02799 + 0.33592 + 0.373248 ≈ 0.737158

Ответ:
Вероятность того, что среди 7 взятых шестерен окажутся не более две шестерни, изготовленные на заводе № 2, составляет примерно 0.737158 или около 73.71%.