4. в классе 30 учеников, у каждого ровно по 2 друга. докажите, что можно организо- вать не менее 10 дежурств так, чтобы дежурили по двое друзей, и никто не дежурил дважды. всегда ли можно организовать 11 дежурств?

Добрый день! Я буду рад выступить в роли школьного учителя и помочь разобраться с данным вопросом.

Для того чтобы доказать, что можно организовать не менее 10 дежурств так, чтобы дежурили по двое друзей и никто не дежурил дважды, рассмотрим следующий алгоритм:

1. Начнем с выбора одного ученика из класса и назначим его на дежурство.
2. Выберем одного друга этого ученика и также назначим его на дежурство.
3. Теперь у нас есть два ученика, которые могут дежурить вместе.
4. Отметим обоих учеников как "уже дежуривших" и уберем их из рассмотрения.
5. Повторим шаги 1-4, пока не останется учеников, которые еще не дежурили.
6. Итогом будет 10 дежурств, при которых каждый ученик дежурит ровно один раз.

Таким образом, мы доказали, что можно организовать не менее 10 дежурств так, чтобы дежурили по двое друзей и никто не дежурил дважды.

Однако, всегда ли можно организовать 11 дежурств? Чтобы ответить на данный вопрос, рассмотрим следующий пример. Предположим, у нас есть класс из 4 учеников: A, B, C и D. Пусть ученик A - друг для учеников B и C, ученик B - друг для учеников A и C, ученик C - друг для учеников A и B, а ученик D не имеет друзей в классе.

Рассмотрим возможные варианты организации дежурств:

1. Первые 10 дежурств могут быть организованы следующим образом:
- A и B
- A и C
- B и C
- A и D
- B и D
- C и D
- A и B
- A и C
- B и C
- A и D

Все 10 дежурств выполнены условиями задачи.

2. Однако, при попытке организовать 11 дежурств, мы уже не сможем соблюсти все условия. После 10-го дежурства, у нас остался только ученик D, и у него нет друзей, с которым он может дежурить.

Таким образом, ответ на вопрос "всегда ли можно организовать 11 дежурств?" - нет, в данном примере это невозможно.

В итоге, кратко можно сказать, что можно организовать не менее 10 дежурств, но нельзя всегда организовать 11 дежурств в данной ситуации.