3нужно исследовать функцию и построить график y=5/x - x/5

Дана функция y= (5/x) - (x/5).

1) Найти область определения функции; 

Есть ограничение: х не может быть равен 0. х ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) (знаменатель не может быть равен нулю).

2) Исследовать функцию на непрерывность; 

Есть точка разрыва функции: х = 0.

3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной.

Проверим функцию -  четна или нечетна с соотношений f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x).  

f(-x) = (5/(-x))-((-x) /5) = -(5/x)+(x/5) = -((5/х) -(х/5) = -f(x).

 Функция  нечётная.

4) Найти интервалы функции и точки её экстремума ; 

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:  

y’ = ((5/x) - (x/5))’ = (5/x2) - (1/5) = 0.

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами, но так как переменная только в знаменателе, то производная не может быть равна нулю.

Поэтому функция не имеет экстремумов.  

Так как производная при любых значениях производной имеет только отрицательные значения, то функция на всей области определения убывающая.

5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции; 

Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,  

y'' = 10/х³ = 0.

Это уравнение не имеет решения, поэтому у графика нет перегибов.  

Интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, находим по знаку второй производной: где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.

х = -1  -0,5       0,5     1

y'' = -10  -80   80  10

• выпуклая на промежутках: (-∞: 0),

• вогнутая на промежутках: (0; ∞).

6) Найти асимптоты графика функции.

Вертикальная асимптота - это ось Оу (при этом х = 0).

Горизонтальная асимптота у графика функции определяется при нахождении предела функции на бесконечности:

lim┬(x→±∞)⁡〖5/x-x/5=lim┬(x→±∞) 0∓∞=∓∞.〗

Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет. Кроме того, это говорит о том, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Отсюда находим область значений функции.

у ϵ (-∞;  +∞) .

Наклонные асимптоты. Функция f(x) имеет наклонную асимптоту y = k x + b тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы к и в в уравнении у = кх + в.

〖 k=lim⁡〗┬(           x→±∞)⁡〖(f(x))/x.〗

〖b=lim⁡ 〗┬(         x→±∞)⁡〖[f(x)-kx].〗

Находим коэффициент k:

  k=lim┬(x→∞)⁡〖(25-x^2)/(5x*x)=25/(5x^2 )-x^2/(5x^2 )=0-1/5=-1/5.〗

b=lim┬(x→∞)⁡〖(25-x^2)/5x-(-1/5)x=(25-x^2+x^2)/5x=25/5x=0.〗

Получаем уравнение наклонной асимптоты y=-1/5 x.

График функции, таблица точек для его построения приведены в приложении (страница 6).