№325 Ю.М. Колягин , 10 класс. Доказать , что если уравнение хⁿ+а₁хⁿ⁻¹ +а₂хⁿ⁻² +...аⁿ=0 с целыми коэффициентами а₁, а₂ ,аₙ имеет рациональный корень , то этот корень-₇ целое число .
Максимально подробно.

Пошаговое объяснение:Док-во:

Если f(x)=хⁿ+а₁хⁿ⁻¹ +а₂хⁿ⁻² +...аⁿ=0 приведённый многочлен n-ой степени с целыми коэффициентами имеет рациональный корень х=p/q, где  p/q -несократимая дробь, причём q ≥2, р∈Z, q∈N.

Тогда f(х)=f(p/q)=0, ⇒  

pⁿ/qⁿ +a₁pⁿ⁻¹/qⁿ⁻¹+a₂pⁿ⁻²/qⁿ⁻² +...aₙ= 0

Умножим обе части равенства на qⁿ⁻¹, получим:  

pⁿ/q +a₁pⁿ⁻¹/+a₂pⁿ⁻²q +...aₙ/qⁿ⁻¹= 0 ⇒все члены, кроме первого окажутся целыми числами, значит и pⁿ/q-должно быть целым числом, но это не так, т.к. p/q-дробь несократимая и числа p и q не имеют общих делителей,⇒общих делителей не имеют pⁿ и q.

Значит многочлен f(x) не может иметь рациональных корней, не являющихся целыми числами, ч.т.д.