№3 найдите наименьшее натуральное число a, которое после умножения на 2 становится квадратом, а после умножения на 3 кубом некоторого натурального числа.

Наименьшее натуральное число  - 72.
72*2=144=12²
72*3=216=6³ю

    1) Наше число, чтобы умножении на 2 стать квадратом, должно уже содержать, по крайней мере одну, эту  двойку. тогда получим 2*2 = 2²
    2) Но оно должно также быть и КУБОМ, т.е. наша двойка должна быть в нем в уже третьей степени, это не противоречит первому условию, так как 2*(2³) = 2⁴ = (2²)². Т.е. приумножении на два получится обусловленный квадрат.
    3) Чтобы при умножении на 3 получился куб, множителем нашего числа должен быть квадрат тройки. Тем более, что это надо для того, чтобы число стало квадратом по первому условию.
    Т.Е. наше число:
                                2³ * 3² = 8 * 9 = 72;
     И это наименьшее число, так как в нем нет других множителей, а степени участвующих в образовании числа множителей - минимальные.

Проверка: 2*(2³ * 3²) = 2⁴ * 3² = (2² * 3)² = 12²;   12² = 144; 144:2 = 72
                  3*(2³ * 3²) = 2³ * 3³ = (2 * 3)³ = 6³;  6³ = 216;   216:3 = 72