#3 На доске написано 2022-значное число . Пара случайных последовательных 2-х цифр этого числа делится либо на 17, либо на 23 без остатка . Если последняя цифра этого числа 1, то найдите 1-ю цифру .

Добрый день, давайте разберемся с этим вопросом.

У нас есть число, которое состоит из 2022 цифр. Мы знаем, что пара случайных последовательных двух цифр этого числа либо делится на 17 без остатка, либо делится на 23 без остатка.

Исходя из этой информации, нам нужно найти 1-ю цифру числа, если последняя цифра этого числа равна 1. Давайте проделаем следующие шаги для нахождения ответа.

1. Вспомним, что означает деление числа на 17 без остатка. Если какое-то число делится на 17 без остатка, то это значит, что результат деления является целым числом.

2. Возьмем случайные последовательные две цифры числа. Обозначим их как A и B.

3. Предположим, что A и B образуют пару и их комбинация делится на 17 без остатка. То есть, (10 * A + B) должно быть делится на 17 без остатка.

4. Так как мы знаем, что A и B являются последними двумя цифрами числа, то (10 * A + B) будет равно остатку от деления этого числа на 100. Другими словами, (10 * A + B) ≡ (число по модулю 100).
Например, если у нас есть число 1259, то (10 * 5 + 9) ≡ (59 по модулю 100) ≡ 59.

5. Теперь мы должны учесть, что (10 * A + B) должно делится на 17 без остатка. Здесь нам может помочь некоторая математическая логика. Проверим все числа от 0 до 99 и найдем пары, которые нацело делятся на 17.

- 00 не делится на 17.
- 01 не делится на 17.
- 02 не делится на 17.
- 03 делится на 17 (1*17=17).
- 04 делится на 17 (2*17=34).
- 05 делится на 17 (3*17=51).
- 06 делится на 17 (4*17=68).
- 07 делится на 17 (5*17=85).
- 08 делится на 17 (6*17=102).
- 09 делится на 17 (7*17=119).
...

6. Мы видим, что числа от 00 до 06 не делятся на 17, а числа от 07 до 09 делятся на 17 без остатка. Теперь мы можем предположить, что (10 * A + B) может быть равно 7, 8 или 9 по модулю 17.

7. Поскольку у нас неизвестно точное значение числа и его цифр, мы можем представить наше число в следующем виде: 1000...0001, где 1000...000 - это некоторое число цифр, а последняя цифра равна 1.

8. Если мы подставим это число в нашу формулу (10 * A + B), то получим:
(10 * A + B) ≡ (1000...000 * A + 1 * B) ≡ B.

То есть, наше (10 * A + B) равно просто последней цифре числа, которая равна B.

9. Мы знаем, что B может быть равно 7, 8 или 9 по модулю 17. То есть, B ≡ 7 (mod 17), или B ≡ 8 (mod 17), или B ≡ 9 (mod 17).

10. Теперь мы можем приступить к нахождению 1-й цифры числа, если его последняя цифра равна 1.

11. Итак, у нас есть три возможных значения для B: B ≡ 7, 8 или 9 (mod 17).

12. Теперь мы можем рассмотреть числа, которые удовлетворяют условию последней цифры, равной 1. Так как последняя цифра равна 1, у нас может быть такая картина: 1000...0001, где 1000...000 - это некоторое число цифр.
Нам нужно найти 1-ю цифру этого числа.

13. Вспомним, что (10 * A + B) ≡ B (mod 17). Если (10 * A + B) делится на 17 без остатка, то B также должно делится на 17 без остатка.

14. Поскольку мы ищем значения B, которые удовлетворяют условию, что B ≡ 7, 8 или 9 (mod 17), то мы можем рассмотреть числа, последняя цифра которых равна 7, 8 или 9 и которые делятся на 17 без остатка.

15. Проведем анализ этих чисел и найдем 1-ю цифру:
- Для B ≡ 7 (mod 17) мы ищем числа, оканчивающиеся на 7 и делящиеся на 17 без остатка. Например, 17, 34, 51, 68, 85...
- Для B ≡ 8 (mod 17) мы ищем числа, оканчивающиеся на 8 и делящиеся на 17 без остатка. Например, 17, 34, 51, 68, 85...
- Для B ≡ 9 (mod 17) мы ищем числа, оканчивающиеся на 9 и делящиеся на 17 без остатка. Например, 17, 34, 51, 68, 85...

16. Мы видим, что числа, оканчивающиеся на 7, 8 и 9 и делящиеся на 17 без остатка, имеют одни и те же первые цифры: 1, 3, 5, 6, 8.

17. Однако у нас есть дополнительное условие, что последняя цифра исходного числа равна 1. Поэтому нам нужно найти такую цифру из списка (1, 3, 5, 6, 8), которая, умноженная на 17, оканчивается на 1.

18. Если мы рассмотрим числа 1, 3, 5, 6, 8 и умножим их на 17, то получим следующие числа:
- 17 * 1 = 17
- 17 * 3 = 51
- 17 * 5 = 85
- 17 * 6 = 102
- 17 * 8 = 136

19. Теперь мы видим, что единственное число, оканчивающееся на 1, это 17 * 1 = 17.

20. Значит, 1-я цифра искомого числа равна 1.

Итак, ответом на вопрос является цифра 1.