3 arcsin 1/2 + 4 arccos (-1/√2) -arcctg(-√3)

Давайте начнем с поочередного рассмотрения каждого слагаемого и решим их по отдельности.

1. arcsin(1/2)
Определение arcsin функции: это обратная функция к синусу. В нашем случае, нам нужно найти угол α, для которого синус этого угла равен 1/2.
Так как мы ищем угол в пределах от -π/2 до π/2, то у нас есть точное значение. Мы знаем, что синус равен 1/2 при угле π/6 или 30 градусах.
Таким образом, arcsin(1/2) = π/6.

2. arccos(-1/√2)
Аналогично, определение arccos функции: это обратная функция к косинусу. В нашем случае, нам нужно найти угол β, для которого косинус этого угла равен -1/√2.

Здесь мы имеем значения косинуса для угла от -π до 0 и от 0 до π, поэтому у нас два решения.

Угол β1:
В первом случае, мы ищем угол в пределах от 0 до π/2, для которого косинус равен -1/√2. Мы знаем, что косинус равен -1/√2 при угле 5π/4 или 225 градусов.
Таким образом, arccos(-1/√2) = 5π/4.

Угол β2:
Во втором случае, мы ищем угол в пределах от π до 3π/2, для которого косинус равен -1/√2. Мы знаем, что косинус равен -1/√2 при угле 7π/4 или 315 градусов.
Таким образом, arccos(-1/√2) = 7π/4.

3. arcctg(-√3)
Теперь рассмотрим arcctg функцию. Это обратная функция к тангенсу. В нашем случае, мы ищем угол γ, для которого тангенс этого угла равен -√3.

Здесь у нас также два решения, так как тангенс имеет период π.

Угол γ1:
В первом случае, мы ищем угол в пределах от 0 до π, для которого тангенс равен -√3. Мы знаем, что тангенс равен -√3 при угле -π/6 или -30 градусов.
Таким образом, arcctg(-√3) = -π/6.

Угол γ2:
Во втором случае, мы ищем угол в пределах от π до 2π, для которого тангенс равен -√3. Мы знаем, что тангенс равен -√3 при угле 5π/6 или 150 градусов.
Таким образом, arcctg(-√3) = 5π/6.

Теперь, когда мы решили каждое слагаемое, мы можем подставить их значения в исходное уравнение и выполнить все необходимые операции.

3 arcsin(1/2) + 4 arccos(-1/√2) - arcctg(-√3) =
= 3 * π/6 + 4 * 5π/4 - (-π/6) =
= π/2 + 5π - (-π/6) =
= π/2 + 5π + π/6 =
= 9π/2 + π/6.

Таким образом, ответ на ваш вопрос равен 9π/2 + π/6.