#278 Найдите все целые значения х, при которых выполняется неравенство: 1)|5x-2|<8 ; 2) |5x + 3| < 7 3) |5 - 3x| <= 1 ; 4)|3-4x|<=3 5) |2x-5|<=1; 6) | 3-4x|<=6 .

Давайте рассмотрим каждое из заданных неравенств по очереди и найдем все целые значения x, при которых выполняется каждое из них.

1) |5x-2| < 8:

Чтобы найти целые значения x, нам нужно рассмотреть два случая:

a) 5x-2 < 8:
Решим это неравенство:
5x-2 < 8 ---> 5x < 10 ---> x < 2
Получаем, что x должно быть меньше 2.

b) -(5x-2) < 8:
Здесь важно заметить, что при взятии модуля числа, знак меняется на противоположный, поэтому мы берем отрицательное значение (5x-2) и сравниваем с 8.
-(5x-2) < 8 ---> -5x+2 < 8 ---> -5x < 6 ---> x > -6/5
Получаем, что x должно быть больше -6/5.

Таким образом, мы получаем, что значение x должно удовлетворять условию -6/5 < x < 2.

2) |5x + 3| < 7:

Рассмотрим два случая:

a) 5x + 3 < 7:
Решим это неравенство:
5x + 3 < 7 ---> 5x < 4 ---> x < 4/5
Получаем, что x должно быть меньше 4/5.

b) -(5x + 3) < 7:
-(5x + 3) < 7 ---> -5x - 3 < 7 ---> -5x < 10 ---> x > -10/5
Получаем, что x должно быть больше -10/5.

Таким образом, мы получаем, что значение x должно удовлетворять условию -10/5 < x < 4/5.

3) |5 - 3x| <= 1:

Рассмотрим два случая:

a) 5 - 3x <= 1:
Решим это неравенство:
5 - 3x <= 1 ---> -3x <= -4 ---> x >= 4/3
Получаем, что x должно быть больше или равно 4/3.

b) -(5 - 3x) <= 1:
-(5 - 3x) <= 1 ---> -5 + 3x <= 1 ---> 3x <= 6 ---> x <= 6/3
Получаем, что x должно быть меньше или равно 6/3.

Таким образом, мы получаем, что значение x должно удовлетворять условию 4/3 <= x <= 2.

4) |3-4x| <= 3:

Рассмотрим два случая:

a) 3-4x <= 3:
Решим это неравенство:
3-4x <= 3 ---> -4x <= 0 ---> x >= 0
Получаем, что x должно быть больше или равно 0.

b) -(3-4x) <= 3:
-(3-4x) <= 3 ---> -3 + 4x <= 3 ---> 4x <= 6 ---> x <= 6/4
Получаем, что x должно быть меньше или равно 6/4.

Таким образом, мы получаем, что значение x должно удовлетворять условию 0 <= x <= 6/4.

5) |2x - 5| <= 1:

Рассмотрим два случая:

a) 2x - 5 <= 1:
Решим это неравенство:
2x - 5 <= 1 ---> 2x <= 6 ---> x <= 6/2
Получаем, что x должно быть меньше или равно 6/2.

b) -(2x - 5) <= 1:
-(2x - 5) <= 1 ---> -2x + 5 <= 1 ---> -2x <= -4 ---> x >= 4/2
Получаем, что x должно быть больше или равно 4/2.

Таким образом, мы получаем, что значение x должно удовлетворять условию 4/2 <= x <= 6/2.

6) |3 - 4x| <= 6:

Рассмотрим два случая:

a) 3 - 4x <= 6:
Решим это неравенство:
3 - 4x <= 6 ---> -4x <= 3 ---> x >= 3/(-4)
Получаем, что x должно быть больше или равно 3/(-4).

b) -(3 - 4x) <= 6:
-(3 - 4x) <= 6 ---> -3 + 4x <= 6 ---> 4x <= 9 ---> x <= 9/4
Получаем, что x должно быть меньше или равно 9/4.

Таким образом, мы получаем, что значение x должно удовлетворять условию 3/(-4) <= x <= 9/4.

Итак, перечислим все целые значения x, при которых выполняются заданные неравенства:

1) -2, -1, 0, 1
2) -1
3) 2
4) 0, 1, 2
5) 3
6) -1, 0, 1, 2.