22 футболиста сыграли три тренировочных игры (разбиваясь каждый раз на два состава по 11 человек). докажите, что какие-то два футболиста все три раза были соперниками.

Постараемся опровергнуть утверждение и построить контр пример. Переберем варианты изменений составов команд от игры к игре.
1. Вообще не менять составы - очевидно, что в таком случае все игроки обеих команд будут постоянными соперниками.
2. Если менять по одному, два, три или четыре игрока, то можно будет заметить, что этого недостаточно чтобы перетосовать полностью составы на каждую из 3х игр.

 1,2,311 игроки  - 1я команда
12,13,14 22 игроки - 2я команда
первая игра

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12  - 1я команда
11,13,14 22 игроки - 2я команда
вторая игра. 

и уже к третьей игре наберется ряд игроков, являющихся осперниками 3й раз. 

Также пройдет комбинирование, если менять по 2,3 или 4 игрока.

Единственная возможность попытаться провести комбинации всех игроков, это поделить первые варианты составов в каждой команде пополам и собрать из "половинок" команд разные сочетания.

Например буквой А назовем первую половину первой команды
Буквой Б назовем вторую половину первой команды
В - первая половина второй команды
Г - вторая половина второй команды.

Первый матч: АБ против ВГ
Второй матч: АВ против БГ
Третий матч: АГ против БВ

У нас бы получился такой вариант сочетаний игроков, если бы не один нюанс - в команде 11 игроков и ровно пополам их поделить невозможно! В одну часть попадет 6 игроков, а в другую 5. 
Для определенности договоримся, что в Части А и Г попали 6 человек, а в Части Б и В по 5 человек. 

Тогда, в третьем матче мы получаем ситуацию при которой в команде АГ 12 человек и ВСЕ они ранее были между собой соперниками, а в команде БВ 10 человек. 
Получается что из команды АГ мы должны перевести одного игрока в команду БВ и он в третий раз окажется соперником противоположной "половинке" (если мы переведем игрока из Г, то он будет третий матч играть против футболистов из А и наоборот).