2)Найти экстремумы функции: A) f(x) = x3 - x2 - x + 2 Б) f(x) = ex(5 - 4x) 4)Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x3-x2 -x + 2 на отрезке [-1;3/2]

Для нахождения экстремумов функции, нужно найти ее производную и найти значения x, при которых производная равна нулю или не существует. A) Для функции f(x) = x^3 - x^2 - x + 2: 1. Найдем первую производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 (по правилу для нахождения производной полинома) 2. Теперь приравняем f'(x) к нулю и найдем значения x: 3x^2 - 2x - 1 = 0 Как-то решить это уравнение аналитически сложно, поэтому воспользуемся квадратным уравнением x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a). Здесь a = 3, b = -2, c = -1. x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4*3*(-1))) / (2*3) x = (2 ± √(4 + 12)) / 6 x = (2 ± √16) / 6 x = (2 ± 4) / 6 x₁ = (2 + 4) / 6 = 1 x₂ = (2 - 4) / 6 = -1/3 3. Проверим значения x₁ и x₂ второй производной для определения типа экстремума. Подставим значения x во вторую производную f''(x) = 6x - 2: f''(x₁) = 6*1 - 2 = 4, значит x₁ - точка минимума f''(x₂) = 6*(-1/3) - 2 = -4, значит x₂ - точка максимума Ответ: Функция f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 имеет минимум при x = 1 и максимум при x = -1/3. Б) Для функции f(x) = e^x(5 - 4x): 1. Найдем первую производную функции f(x): f'(x) = e^x(5 - 4x) + e^x(-4) (по правилу производной произведения) 2. Теперь приравняем f'(x) к нулю и найдем значения x: e^x(5 - 4x) - 4e^x = 0 Вынесем e^x за скобку: e^x = 4e^x / (5 - 4x) 1 = 4 / (5 - 4x) 5 - 4x = 4 -4x = -1 x = 1/4 3. Проверим значение x второй производной для определения типа экстремума. Подставим значение x во вторую производную f''(x) = -8e^x + 8e^x(-4x+1): f''(1/4) = -8e^(1/4) + 8e^(1/4)(-4(1/4)+1) = -8e^(1/4) + 8e^(1/4)(-1) = -8e^(1/4) - 8e^(1/4) = -16e^(1/4), значит x - точка максимума. Ответ: Функция f(x) = e^x(5 - 4x) имеет максимум при x = 1/4. 4) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 на отрезке [-1;3/2], необходимо - найти значения функции на концах отрезка, - найти значения функции в точках экстремумов на отрезке, - выбрать наибольшее и наименьшее значение среди найденных значений. Вычислим значения функции в крайних точках отрезка: f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 1 + 1 + 2 = 1 f(3/2) = (3/2)^3 - (3/2)^2 - (3/2) + 2 = 27/8 - 9/4 - 3/2 + 2 = (27 - 18 - 12 + 16) / 8 = 13/8 Теперь найдем значения функции в точках экстремума x = -1/3 и x = 1: f(-1/3) = (-1/3)^3 - (-1/3)^2 - (-1/3) + 2 = -1/27 - 1/9 + 1/3 + 2 = (-1 - 3 + 9 + 54) / 27 = 59/27 f(1) = (1)^3 - (1)^2 - (1) + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1 И, наконец, выберем наибольшее и наименьшее значение среди найденных значений: Наименьшее значение функции: 1 Наибольшее значение функции: 59/27 Ответ: Наибольшее значение функции f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 на отрезке [-1;3/2] равно 59/27, а наименьшее значение равно 1.