1. Математика
  2. 2*х^3*у =у*(2*x^2-у^2)

2*х^3*у'=у*(2*x^2-у^2) решить дифференциальное уравнение

Tukko Tukko    3   06.05.2020 13:30    0

Ответы
zahar64 zahar64  14.10.2020 08:29

2x^{3}y' = y(2x^{2} - y^{2})

y' = \dfrac{y(2x^{2} - y^{2})}{2x^{3}}

y' = \dfrac{2x^{2}y - y^{3}}{2x^{3}}

Пусть f(x,y) = \dfrac{2x^{2}y - y^{3}}{2x^{3}}

Сделаем проверку:

f(\lambda x,\lambda y) = \dfrac{2(\lambda x)^{2}\lambda y - (\lambda y)^{3}}{2(\lambda x)^{3}} = \dfrac{\lambda ^{3} (2x^{2}y - y^{3})}{2\lambda ^{3}x^{3}} =\dfrac{2x^{2}y - y^{3}}{2x^{3}} = f(x,y)

Таким образом, f(\lambda x,\lambda y) = \lambda ^{0}f(x,y) — имеем однородную функцию нулевого измерения.

Сделаем замену: y = u \cdot x, где u = u(x). Тогда y' = u'x + u

Имеем:

u'x + u = \dfrac{2x^{2}ux - (ux)^{3}}{2x^{3}}

u'x + u = \dfrac{2x^{3}u - u^{3}x^{3}}{2x^{3}}

u'x + u = \dfrac{x^{3}(2u - u^{3})}{2x^{3}}

u'x = \dfrac{2u - u^{3}}{2} - u

x \cdot \dfrac{du}{dx} = -\dfrac{u^{3}}{2}

\dfrac{du}{u^{3}} = - \dfrac{dx}{2x}

\displaystyle \int \dfrac{du}{u^{3}} = - \int \dfrac{dx}{2x}

-\dfrac{1}{2u^{2}} = -\dfrac{1}{2}\ln |x| + C \ \ \ | \cdot (-2)

\dfrac{1}{u^{2}} = \ln |x| + \ln|C_{1}|

\dfrac{1}{u^{2}} = \ln |C_{1}x|

u^{2} = \dfrac{1}{\ln|C_{1}x|}

u = \pm\dfrac{1}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }

Обратная замена:

\dfrac{y}{x} =\pm\dfrac{1}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }

y =\pm\dfrac{x}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }

ответ: y =\pm\dfrac{x}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
XxXKotikXxX XxXKotikXxX  14.10.2020 08:29

Пошаговое объяснение: решение в файле


2*х^3*у'=у*(2*x^2-у^2) решить дифференциальное уравнение
2*х^3*у'=у*(2*x^2-у^2) решить дифференциальное уравнение
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
ogiifutball ogiifutball  21.12.2020 19:15
2. Среди чисел 225, 111, 802, 288, 1770, 210 выберите: а) числа, которые делятся на 2; в) числа, кратные 6; д) числа, кратные 15; ж) числа, кратные 9; б) числа, кратные...
Veteran2211 Veteran2211  21.12.2020 19:15
Найти область определения функции 35б...
Usdied Usdied  21.12.2020 19:15
Знайдіть невідомий член пропорції 1)1:3=Х:6 2)7/2=35/Х...
combatcat combatcat  21.12.2020 19:14
88. Мотоциклист и велосипедист едут навстречу друг другу. Че- рез сколько часов они встретятся, если расстояние между ними 272 км, скорость велосипедиста 12 км/ч, а скорость...
anna18341 anna18341  21.12.2020 19:14
Швее надо сшить 96 салфеток. Сколько времени она затратит на эту работу, если будет шить в минуту 2 салфетки?...
kivonen3p08qoq kivonen3p08qoq  21.12.2020 19:14
Вычислить производную следующих функций: 1. х12; х45; х -25; 3х14; х^9/3; 〖7х〗^4/2; 〖6х〗^5/5; 2. 1/х^6 ; 5/х^5 ; 3/〖4х〗^4 ; 1/х^(-7) ; 1/〖3х〗^6 ; 4/〖33х〗^11 ; 3. а) х7+3х4-5х2-х+10;...
iyliaz4ay iyliaz4ay  21.12.2020 19:14
Скороти дріб 15/60, 120/180, 38/57, 63/72.​...
bili0909 bili0909  21.12.2020 19:13
Расчитай длину ребра куба,если объём куба равен 64дм³​...
Vera2200 Vera2200  21.12.2020 19:13
2) 2 - c = 50 + 1; реши уравнения ​...
ручка41 ручка41  21.12.2020 19:13
Изобразите что отрезок АВ пересекает прямую а.А также найдите значение х с объяснением...

Популярные вопросы