2. Дан многочлен p(x) = x3 + Вх2 + Cx + D, докажите, что если квадрат одного из его корней равен произведению двух других, то В3D = Cз.

p(x) = x3 + Вх2 + Cx + D

p(x)=D

Добрый день! Давайте разберемся с данной задачей.

Для начала, нам нужно знать некоторые основные понятия о многочленах. Многочлен степени n может иметь не более n корней. Если у многочлена есть корень С, то мы можем его записать в виде (x-С). Таким образом, пусть у нас есть три корня: a, b и c. Мы можем записать наш многочлен следующим образом:

p(x) = (x-a)(x-b)(x-c)

Также, у нас есть информация, что квадрат одного из корней равен произведению двух других, то есть a^2 = bc.

Сначала, преобразуем наш многочлен:

p(x) = (x-a)(x-b)(x-c)
= (x^2 - ax - bx + ab)(x-c)
= (x^2 - (a+b)x + ab)(x-c)
= x^3 - (a+b)x^2 + abx - cx^2 + (a+b)cx - abc
= x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+bc-ac)x - abc

Мы видим, что коэффициенты при степенях x равны:

В = -(a+b+c)
С = ab+bc-ac
D = -abc

Теперь у нас есть всё необходимое, чтобы доказать то, что требуется.

Дано: a^2 = bc

Подставим в нашу формулу для коэффициента С:

С = ab+bc-ac
= ab + a^2 - ac
= ab + a^2 - a(a+b+c)
= ab + a^2 - a^2 - ab - ac
= - ac

Теперь, нам нужно доказать, что В^3D = C^3.

Подставим значения коэффициентов В, D и С в выражение В^3D:

В^3D = (-(a+b+c))^3 * (-abc)

Возведем в куб значение -(a+b+c):

(-(a+b+c))^3 = -((a+b+c)(a+b+c)(a+b+c))
= -(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)
= -(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc + 2ab + 2ac + 2bc + 2ac + 2bc + c^2)
= -(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc + 2ab + 2ac + 2bc + 2ac + 2bc + c^2)
= -(3a^2 + 3b^2 + 3c^2 + 6ab + 6ac + 6bc)
= -3(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)

Теперь, умножим это выражение на значение D:

-(3(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)) * (-abc)
= 3(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) * abc
= 3abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)

Мы получили:

В^3D = 3abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)

Теперь, подставим значение C в этот выражение:

В^3D = 3abc(-ac)
= -3a^2bc

Мы видим, что В^3D = -3a^2bc, а также, мы знаем, что С = -ac. Таким образом, мы доказали, что В^3D = C^3.

Надеюсь, это решение было понятным и подробным для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.