13. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=x^2+8/x+1 на отрезке [0;3]​

Будем считать, что дана функция у = (x²+8) / (x+1).

Находим её производную.

y' = 2x*(x + 1) - 1*(x² + 8) / (x + 1)² = (x² + 2x - 8) / ((x + 1)²).

Для определения критических точек приравняем её нулю (достаточно числитель, исключив х = -1).

x² + 2x - 8 = 0,

D = (2²-4*1*(-8)) = 36, √D = +-6.

x1 = (-2 - 6)/(2*1) = -4, x2 = (-2 + 6) / (2*1) = 2.

На заданном промежутке критическая точка х = 2.

Определим её характер по значениям производной левее и правее этой точки.

х =       1        2           3

y' = -1,25      0       0,4375.

Как видим, это минимум функции (переход производной с - на +).

Значение функции  в точке экстремума равно:

у = (2² + 8) / (2 + 1) = 12/3 = 4.

Чтобы найти  наибольшее  значение функции на заданном промежутке, определим её значения на концах промежутка.

х = 0, у = 8,

х = 3, у = 4,25.

ответ: наибольшее значение функции у = 8,

           наименьшее значение функции  у = 4.