12б. решить систему: у²+x²+z²=3 2x+2y+2z=-6

Делим второе уравнение на 2:

x + y + z = -3

Возводим в квадрат:

x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 9

Заменяем сумму квадратов на 3:

2(xy + yz + zx) + 3 = 9

xy + yz + zx = 3

Посмотрим на это с точки зрения геометрии. Пусть вектор a = {x, y, z}; вектор b = {y, z, x} - вектор, полученный из a поворотом вокруг оси, направленной вдоль {1, 1, 1} на -120°. Мы получили, что a b = a a = 3, значит, проекция b на a совпадает с проекцией a на a, то есть с a. Учитывая, что длины векторов a и b совпадают, так будет, только если a = b, значит, вектор a лежит на оси вращения, тогда x = y = z.

Подставляем x = y = z:

x + y + z = -3

3x = 3y = 3z = -3

x = y = z = -1