1 января 2016 года был открыт вклад в банке на сумму 200 тыс. рублей. 31 декабря каждого
года банк начисляет 10% на имеющуюся сумму. Через сколько полных лет после открытия
счёта на вкладе будет не менее 500 тыс. рублей, если планируется каждый год 1 января
класть на счёт дополнительно 100 тыс. рублей?

Чтобы решить эту задачу, мы должны последовательно проследить изменение суммы вклада каждый год и узнать, через сколько полных лет достигнется сумма не менее 500 тыс. рублей.

Давайте пошагово рассмотрим процесс:

1) У нас уже есть исходная сумма вклада - 200 тыс. рублей.

2) Планируется ежегодное пополнение вклада на 100 тыс. рублей. Таким образом, каждый год, начиная с 1 января 2016 года, на счет будет добавляться 100 тыс. рублей.

3) Банк ежегодно начисляет 10% на имеющуюся сумму. Это значит, что каждую следующую годовщину открытия вклада на счету будет накапливаться 10% от общей суммы на данный момент.

4) Наша задача - найти, через сколько полных лет сумма на вкладе достигнет или превысит 500 тыс. рублей.

Понятно, что вклад будет расти постепенно. Мы можем использовать последовательность или просто добавлять ежегодные 100 тыс. рублей к сумме вклада.

Давайте посмотрим на примере первых трех лет:

1) Первый год: 200 тыс. рублей + 100 тыс. рублей = 300 тыс. рублей
Банк начисляет 10% на 300 тыс. рублей: 0,1 * 300 тыс. рублей = 30 тыс. рублей
В общей сумме на счете будет: 300 тыс. рублей + 30 тыс. рублей = 330 тыс. рублей

2) Второй год: 330 тыс. рублей + 100 тыс. рублей = 430 тыс. рублей
Банк начисляет 10% на 430 тыс. рублей: 0,1 * 430 тыс. рублей = 43 тыс. рублей
В общей сумме на счете будет: 430 тыс. рублей + 43 тыс. рублей = 473 тыс. рублей

3) Третий год: 473 тыс. рублей + 100 тыс. рублей = 573 тыс. рублей
Банк начисляет 10% на 573 тыс. рублей: 0,1 * 573 тыс. рублей = 57,3 тыс. рублей
В общей сумме на счете будет: 573 тыс. рублей + 57,3 тыс. рублей = 630,3 тыс. рублей

Таким образом, через 3 года сумма на вкладе составит 630,3 тыс. рублей. Мы видим, что сумма уже превышает 500 тыс. рублей.

Теперь нам нужно найти, через сколько полных лет сумма на вкладе будет не менее 500 тыс. рублей.

Мы уже провели вычисления для первых трех лет, и видим, что сумма росла от года к году. Поэтому, нам нужно продолжить добавлять по 100 тыс. рублей каждый год и последовательно вычислять новую сумму на вкладе, пока не достигнем или превысим 500 тыс. рублей.

Давайте продолжим последовательность:

4) Четвертый год: 630,3 тыс. рублей + 100 тыс. рублей = 730,3 тыс. рублей
Банк начисляет 10% на 730,3 тыс. рублей: 0,1 * 730,3 тыс. рублей = 73,03 тыс. рублей
В общей сумме на счете будет: 730,3 тыс. рублей + 73,03 тыс. рублей = 803,33 тыс. рублей

Продолжаем:

5) Пятый год: 803,33 тыс. рублей + 100 тыс. рублей = 903,33 тыс. рублей
Банк начисляет 10% на 903,33 тыс. рублей: 0,1 * 903,33 тыс. рублей = 90,33 тыс. рублей
В общей сумме на счете будет: 903,33 тыс. рублей + 90,33 тыс. рублей = 993,66 тыс. рублей

Продолжаем до достижения или превышения 500 тыс. рублей:

6) Шестой год: 993,66 тыс. рублей + 100 тыс. рублей = 1093,66 тыс. рублей
Банк начисляет 10% на 1093,66 тыс. рублей: 0,1 * 1093,66 тыс. рублей = 109,37 тыс. рублей
В общей сумме на счете будет: 1093,66 тыс. рублей + 109,37 тыс. рублей = 1203,03 тыс. рублей

7) ...

Продолжаем процесс до тех пор, пока сумма на вкладе не достигнет или превысит 500 тыс. рублей.

Мы можем продолжать этот процесс путем последовательного добавления 100 тыс. рублей к сумме на вкладе и вычисления аккумулированной суммы после начисления 10%. Однако, для удобства и экономии времени, мы можем воспользоваться формулой для расчета процентов в конце каждого года:

Сумма на вкладе после n лет = (исходная сумма вклада + n * ежегодное пополнение) * (1 + процентная ставка)^n

Где:
- исходная сумма вклада = 200 тыс. рублей
- ежегодное пополнение = 100 тыс. рублей
- процентная ставка = 10% = 0,1
- n = количество лет, которые мы хотим рассчитать

Теперь мы можем использовать эту формулу, чтобы более эффективно найти, через сколько полных лет сумма на вкладе будет не менее 500 тыс. рублей.

Для этого мы создадим уравнение:

(200 тыс. рублей + n * 100 тыс. рублей) * (1 + 0,1)^n >= 500 тыс. рублей

Теперь давайте решим это уравнение для n:

(200 тыс. рублей + n * 100 тыс. рублей) * (1,1)^n >= 500 тыс. рублей

Упростим это уравнение и решим его графически, используя калькулятор или программное обеспечение, чтобы найти значение n:

200 тыс. рублей * (1,1)^n + 100 тыс. рублей * (1,1)^n * n >= 500 тыс. рублей

(1,1)^n * (200 тыс. рублей + 100 тыс. рублей * n) >= 500 тыс. рублей

(1,1)^n * n + 2 >= 2,5

Теперь нам нужно решить это неравенство. Мы можем продолжать увеличивать n до тех пор, пока неравенство не выполнится.