№1 Выяснить равносильны ли неравенства: х – 9 <0 и 3x – 2 >4(x – 2) – 3 №2 Решить неравенство 1.√7−х2 ≥−1 2.√х+8 > х+2 3.√2х−8 ≤√6х+13 Решить уравнение 4. √2х+5 - √х решить

№1

Для выяснения равносильности неравенств, нужно проанализировать условия, при которых эти неравенства выполняются.

Начнем с первого неравенства: х – 9 < 0

Для того чтобы решить неравенство, нужно найти значения переменной x, при которых левая часть неравенства меньше нуля.

Добавим 9 к обеим частям неравенства:

х < 9

Теперь рассмотрим второе неравенство: 3x – 2 > 4(x – 2) – 3

Для начала раскроем скобки:

3x – 2 > 4x – 8 – 3

Упростим выражение:

3x – 2 > 4x – 11

Вычтем 3x и добавим 11 к обеим частям неравенства:

-2 + 11 > 4x – 3x

9 > x

Теперь сравним полученные результаты: х < 9 и 9 > x

Мы видим, что значения переменной x, при которых выполняются оба неравенства, одинаковы.
Таким образом, неравенства х – 9 < 0 и 3x – 2 > 4(x – 2) – 3 равносильны.

№2

Решим каждое неравенство по очереди:

1. √7 − х^2 ≥ −1

Начнем с добавления х^2 к обеим частям:

√7 ≥ х^2 - 1

Теперь избавимся от корня, возведя обе части неравенства в квадрат:

7 ≥ х^4 - 2х^2 + 1

Упростим выражение:

х^4 - 2х^2 - 6 ≥ 0

Факторизуем левую часть неравенства:

(х^2 - 3)(х^2 + 2) ≥ 0

Рассмотрим два случая:

а) х^2 - 3 ≥ 0

Решаем данное уравнение:

х^2 ≥ 3

х ≥ √3 или х ≤ -√3

б) х^2 + 2 ≥ 0

Данное уравнение выполняется для любых значений х.

Теперь объединим полученные результаты:

х ≥ √3 или х ≤ -√3.

2. √х + 8 > х + 2

Начнем с вычитания х и 2 из обеих частей:

√х - х + 6 > 0

Перенесем все члены в одну сторону:

√х - х > -6

Теперь возведем обе части неравенства в квадрат:

х - 2√х + х^2 > 36

Упростим выражение:

х^2 - 2√х > 36

Факторизуем левую часть неравенства:

(√х - 6)(√х + 6) > 0

Рассмотрим два случая:

а) √х - 6 > 0

Решаем данное уравнение:

√х > 6

х > 36

б) √х + 6 > 0

Данное уравнение выполняется для любых значений х.

Объединим полученные результаты:

х > 36.

3. √2х − 8 ≤ √6х + 13

Начнем с добавления 8 к обеим частям:

√2х ≤ √6х + 21

Теперь возведем обе части неравенства в квадрат:

2х ≤ 6х + 42 + √6х + 21(√6х + 21)

Упростим выражение:

2х ≤ 42 + 7√6х + 126х + 21(√6х + 21)

Раскроем скобки:

2х ≤ 42 + 7√6х + 126х + 7(√6х + 21)

Упростим выражение:

2х ≤ 42 + 7√6х + 126х + 7√6х + 147

Упростим его еще раз:

128х - 7√6х ≤ 189

На этом этапе нам сложно найти точное решение неравенства, поэтому воспользуемся графическим методом или методом численного приближения, чтобы найти приблизительные значения для величины х.

№3

Решим уравнение: √2х + 5 - √x = 0

Перенесем √2х и -5 на другую сторону:

√2х = √x - 5

Возводим обе части уравнения в квадрат:

2х = x - 10√x + 25

Упростим выражение:

x = 10√x - 25

Возводим обе части уравнения еще раз в квадрат:

x^2 = 100x - 500√x + 625

Упростим выражение:

x^2 - 100x + 500√x - 625 = 0

На этом этапе нам сложно найти точное решение уравнения, поэтому воспользуемся графическим методом или методом численного приближения, чтобы найти приблизительные значения для величины х.