1.вычислите объём и площадь полной поверхности цилиндра, если его радиус r=9 cм, а длина образующей 10см. 2.вычислите площадь осевого сечения, площадь полной поверхности и объём конуса, если его радиус равен 20см, а образующая 25см. 3.площадь сферы равна 324π, найдите ее объём. найдите радиус шара, если расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 12см, а радиус сечения – 5см 4.площадь осевого сечения цилиндра 50 см2, а площадь полной поверхности 52π см2, найдите объем цилиндра. 5.прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4 см вращается вокруг большего катета. найдите площадь полной поверхности и объем полученного тела. 6.в шар вписан цилиндр, осевое сечение которого квадрат. как относятся объемы шара и цилиндра. сделайте выводы, ответив на вопросы. 1)почему цилиндр, конус и шар называют телами вращения? 2)чем отличается шар от сферы? 3)какой фигурой является осевое сечение цилиндра? как находится площадь осевого сечения цилиндра, если известны радиус и высота цилиндра? какой фигурой является осевое сечение конуса? как вычисляется площадь осевого сечения конуса, если известны радиус и высота конуса? какой формулой в конусе можно связать длину образующей (l), высоту(h) и радиус (r) ? площадь сферы вычисляется по формуле , выведите формулу для вычисления площади сферы через диаметр. примеры реальных объектов, которые являются телами вращения. (например, корпус фломастера – это цилиндр) не менее трех примеров.

Хорошо, рассмотрим каждый вопрос по очереди:

1. Вычислим объем и площадь полной поверхности цилиндра со следующими данными:
- Радиус (r) = 9 см
- Длина образующей (l) = 10 см

Объем цилиндра вычисляется по формуле V = π * r^2 * h, где r - радиус цилиндра, а h - высота цилиндра. В нашем случае, высота цилиндра равна длине образующей (l), то есть h = 10 см. Подставим значения в формулу и рассчитаем:

V = π * (9 см)^2 * 10 см = 810 * 10π = 8100π см^3

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле S = 2πr^2 + 2πrh. Подставим значения в формулу и рассчитаем:

S = 2π * (9 см)^2 + 2π * 9 см * 10 см = 162π + 180π = 342π см^2

Таким образом, объем цилиндра равен 8100π см^3, а площадь полной поверхности равна 342π см^2.

2. Вычислим площадь осевого сечения, площадь полной поверхности и объем конуса со следующими данными:
- Радиус (r) = 20 см
- Образующая (l) = 25 см

Площадь осевого сечения вычисляется по формуле S = πr^2. Подставим значение радиуса в формулу и рассчитаем:

S = π * (20 см)^2 = 400π см^2

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле S = πr(r + l), где l - образующая конуса. Подставим значения в формулу и рассчитаем:

S = π * 20 см (20 см + 25 см) = 1200π см^2

Объем конуса вычисляется по формуле V = (1/3)πr^2h, где h - высота конуса. В нашем случае, высота равна образующей (l), то есть h = 25 см. Подставим значения в формулу и рассчитаем:

V = (1/3)π * (20 см)^2 * 25 см = 4000π см^3

Таким образом, площадь осевого сечения конуса равна 400π см^2, площадь полной поверхности равна 1200π см^2 и объем равен 4000π см^3.

3. Дано:
- Площадь сферы (S) = 324π

Чтобы найти объем сферы, нам нужно сначала выразить радиус через площадь. Формула для вычисления площади сферы через радиус следующая: S = 4πr^2.

Подставим значение площади и решим уравнение относительно радиуса:

324π = 4πr^2
81 = r^2
r = 9

Таким образом, радиус сферы равен 9 см.

Объем сферы вычисляется по формуле V = (4/3)πr^3. Подставим значение радиуса и рассчитаем объем:

V = (4/3)π * (9 см)^3 = (4/3)π * 729 см^3 = 972π см^3

Таким образом, объем сферы равен 972π см^3.

Чтобы найти радиус шара, нам дано:
- Расстояние от центра шара до плоскости сечения = 12 см
- Радиус сечения = 5 см

Если расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 12 см, то радиус шара равен сумме радиуса сечения и расстояния. Подставим значения и рассчитаем:

Радиус шара = 12 см + 5 см = 17 см

Таким образом, радиус шара равен 17 см.

4. Дано:
- Площадь осевого сечения цилиндра (S) = 50 см^2
- Площадь полной поверхности цилиндра (S) = 52π см^2

Площадь осевого сечения цилиндра вычисляется по формуле S = πr^2, где r - радиус цилиндра. Подставим значение площади и рассчитаем радиус:

50 см^2 = πr^2
r^2 = 50/π
r ≈ 4.5 см

Теперь найдем объем цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле V = πr^2h, где h - высота цилиндра. Чтобы решить уравнение, нам также понадобится найти высоту цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле S = 2πr(r + h). Подставим значения площади полной поверхности и радиуса и рассчитаем высоту:

52π см^2 = 2π * 4.5 см (4.5 см + h)
h = (52 - 2 * 4.5) / (2 * 4.5)
h ≈ 4.89 см

Теперь, подставим найденные значения радиуса и высоты в формулу объема и рассчитаем:

V = π * (4.5 см)^2 * 4.89 см ≈ 317.66π см^3

Таким образом, объем цилиндра равен около 317.66π см^3.

5. Дано:
- Катет 1 (a) = 3 см
- Катет 2 (b) = 4 см

Площадь полной поверхности полученного тела можно найти, рассмотрев поверхности, получающиеся при вращении треугольника вокруг большего катета.

Площадь боковой поверхности будет равна площади прямоугольника со сторонами a и b, т.е. a*b = 3 см * 4 см = 12 см^2.

Площадь основания (окружность) может быть вычислена по формуле S = πr^2, где r - радиус окружности. В нашем случае, радиус будет равен половине катета b, то есть r = b/2 = 4 см / 2 = 2 см. Подставим значение радиуса и рассчитаем площадь основания:

S = π * (2 см)^2 = 4π см^2.

Общая площадь поверхности будет равна сумме площадей боковой поверхности и основания, то есть 12 см^2 + 4π см^2 = 12 см^2 + 4π см^2 ≈ 12 см^2 + 12.57 см^2 ≈ 24.57 см^2.

Объем полученного тела можно найти, умножив площадь основания на высоту тела. Высоту можно найти с помощью теоремы Пифагора, где высота будет равна гипотенузе прямоугольного треугольника со сторонами a и b: h = √(a^2 + b^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5 см.

Теперь, подставим найденные значения в формулу объема и рассчитаем:

V = S * h = 24.57 см^2 * 5 см ≈ 122.85 см^3.

Таким образом, площадь полной поверхности полученного тела равна около 24.57 см^2, а объем равен около 122.85 см^3.

6. Отношение объемов шара и вписанного цилиндра можно найти. Объем шара равен (4/3)πr^3, где r - радиус шара. Объем цилиндра равен πr^2h, где r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра. При вписывании цилиндра в шар, радиусы шара и цилиндра будут равны, то есть r_шара = r_цилиндра.

Таким образом, отношение объемов шара и цилиндра будет:

V_шара / V_цилиндра = (4/3)πr^3 / πr^2h = (4/3)rh

Теперь рассмотрим отношение площадей поверхности шара и цилиндра. Площадь поверхности шара равна 4πr^2, а площадь поверхности цилиндра равна 2πrh + 2πr^2. Подставим значение радиуса шара и получим:

S_шара / S_цилиндра = 4πr^2 / (2πrh + 2πr^2) = 2r / (h + r)

Из этих формул можно сделать выводы:
1) Цилиндр, конус и шар называют телами вращения, потому что они образуются путем вращения плоской фигуры вокруг оси.
2) Шар отличается от сферы тем, что шар - это трехмерное тело, в то время как сфера - это поверхность, находящаяся на одинаковом расстоянии от центра.
3) Осевое сечение цилиндра является кругом, потому что при сечении цилиндра плоскостью, параллельной его оси, мы получаем окружность. Площадь осевого сечения цилиндра вычисляется по формуле S = πr^2, где r - радиус цилиндра.
Осевое сечение конуса является треугольником, потому что при сечении конуса плоскостью, параллельной его основанию, мы получаем треугольник. Площадь осевого сечения конуса можно вычислить, используя формулу S = πr^2, где r - радиус конуса.
Формула для связи длины образующей (l), высоты (h) и радиуса (r) конуса может быть дана как l^2 = r^2 + h^2.
4) Площадь сферы вычисляется по формуле S = 4πr^2, где r - радиус сферы. Формула для вычисления площади сферы через диаметр будет S = πd^2, где d - диаметр сферы.
5) Примеры реальных объектов, которые являются телами вращения включают корпус