1. Вычислить: а) log31/27; б) 1/32 log1/37;

в) log256 +2 log212 - log263.

2. Сравнить числа: log0,911/2 и log0,911/3.

3. Решить уравнение: log4(2x + 3) = 3.

4. Решить неравенство: log1/2(x – 3) > 2.

5. Решить уравнение: log9x + log√3x = 10.

6. Решить неравенство: log1/2(х - 3) + log1/2(9 - х) ≥ - 3.

7*.Решить неравенство: log22 x -3log2 x ≤ 4

Добрый день! Давайте по порядку решим каждый вопрос.

1.а) Для вычисления логарифма log31/27 будем использовать свойство логарифма, согласно которому logb(a^c) = c * logb(a). Также нам понадобится свойство logb(a) = logc(a) / logc(b).
Итак, log31/27 = log3(3^-3). Применяем первое свойство: log3(3^-3) = -3 * log3(3). Далее, log3(3) = 1 (потому что 3 в степени 1 равно 3).
Таким образом, получаем: log31/27 = -3 * 1 = -3.

1.б) Для вычисления выражения 1/32 log1/37 можно применить свойства логарифма: logb(a^c) = c * logb(a) и log b^c = c * log b.
Итак, 1/32 log1/37 = log1/3(1/37^2). Для удобства заменим 1/37 на x, чтобы использовать десятичные логарифмы: 1/3 * log1/3(x^2).
Нам понадобится значение log1/3(x). Согласно свойству logb(a) = logc(a) / logc(b) имеем: log1/3(x) = log10(x) / log10(1/3).
Чтобы упростить задачу, рассчитаем значение log10(1/3) перед использованием формулы.
Так как logc(a) равно loge(a) / loge(c), где e - основание натурального логарифма, получим: log10(1/3) = ln(1/3) / ln(10).
Для нахождения значения логарифма натурального числа можно воспользоваться калькулятором или таблицами логарифмов. Здесь получаем приближенное значение примерно равное -0,4771.

Теперь, используя ранее найденное значение, вычислим log1/3(x): log1/3(x) = log10(x) / -0,4771.
Возвращаясь к исходному выражению, имеем: 1/3 * log1/3(x^2) = (1/3) * (log10(x) / -0,4771) * 2.
Упростим выражение: (2/3) * (log10(x) / -0,4771).
Полученный результат можно округлить до нужного количества знаков после запятой.

1.в) Для решения данного выражения, log256 + 2 log212 - log263, воспользуемся свойством логарифма log b^c = c * log b.
Итак, log256 + 2 log212 - log263 = log2(2^8) + log2(2^2) - log2(2^6).
По свойству логарифма, log b^c = c * log b, получаем: 8 * log2(2) + 2 * log2(2) - 6 * log2(2).
Обратите внимание, что log2(2) равно 1, поэтому мы можем упростить выражение: 8 + 2 - 6 = 4.

2. Для сравнения чисел log0,911/2 и log0,911/3, можно воспользоваться свойством логарифма log b^c = c * log b.
Таким образом, log0,911/2 = (1/2) * log0,911 и log0,911/3 = (1/3) * log0,911.
Чтобы определить, какое из этих значений больше, можно сравнить их коэффициенты перед log0,911.
У нас есть 1/2 и 1/3, и их можно сравнить.
Итак, 1/2 > 1/3, значит, log0,911/2 больше, чем log0,911/3.

3. Для решения уравнения log4(2x + 3) = 3, мы применяем свойство логарифма log b^c = c * log b.
Таким образом, у нас есть 2x + 3 = 4^3.
4^3 равно 64, поэтому уравнение становится: 2x + 3 = 64.
Теперь решим это уравнение: 2x = 64 - 3, 2x = 61, x = 61/2.
Итак, решением уравнения log4(2x + 3) = 3 является x = 61/2.

4. Чтобы решить неравенство log1/2(x - 3) > 2, нужно рассмотреть два случая.
Случай 1: x - 3 > 0.
Тогда мы можем переписать неравенство в виде x - 3 > 2^2, x - 3 > 4.
Далее, добавим 3 к обеим сторонам: x > 7.
Итак, в случае x > 3 неравенство log1/2(x - 3) > 2 выполняется, если x > 7.

Случай 2: x - 3 < 0.
Тогда мы можем переписать неравенство в виде x - 3 < -2^2, x - 3 < -4.
Теперь добавим 3 к обеим сторонам: x < -1.
В случае x < 3 неравенство log1/2(x - 3) > 2 не выполняется.

Таким образом, решением неравенства log1/2(x - 3) > 2 является x > 7.

5. Для решения уравнения log9x + log√3x = 10, воспользуемся свойством log b + log c = log b * c.
Таким образом, у нас получается log9x * √3x = 10.
Используя свойство log b^c = c * log b, мы можем переписать левую часть уравнения: (log9 + 1/2 log3)x = 10.
Теперь вычисляем значение в скобках: (log9 + 1/2 log3) ≈ (0,9542 + 0,2171) ≈ 1,1713.
Запишем окончательно: 1,1713x = 10.
Решим уравнение, разделив обе стороны на 1,1713: x ≈ 8,54.

6. Для решения неравенства log1/2(x - 3) + log1/2(9 - x) ≥ -3, мы должны рассмотреть несколько случаев.
Случай 1: x - 3 > 0 и 9 - x > 0 (наши логарифмы должны быть положительными).
Это означает, что 3 < x < 9.
Теперь применяем свойство log b^c + log b^d = log b^(c * d).
Таким образом, неравенство становится log1/2[(x - 3)(9 - x)] ≥ -3.
Упрощаем скобки: log1/2(27 - 12x + x^2) ≥ -3.
Следующий шаг - применить свойство log b(c) ≥ a => c ≥ b^a.
То есть, (27 - 12x + x^2) ≥ 2^-3 (потому что основание логарифма 1/2 равно 2).
Далее, упростим выражение: (27 - 12x + x^2) ≥ 1/8.
Приведем оба выражения к общему знаменателю и перепишем неравенство: 8(27 - 12x + x^2) ≥ 1.
Теперь получим квадратное уравнение: 8x^2 - 96x + 215 ≥ 0.
Решим это уравнение и найдем интервалы, при которых оно выполняется.
Решение перед нами: x ≤ 1 или x ≥ 26/8.
Но помните, что мы рассматривали случай x - 3 > 0 и 9 - x > 0, поэтому корень x ≤ 1 не подходит.

Случай 2: x - 3 > 0 и 9 - x < 0.
Этот случай означает, что x > 3 и x < 9.
Применяем свойство log b^c + log b^d = log b^(c * d) и записываем неравенство как log1/2[(x - 3)(x - 9)] ≥ -3.
Упрощаем скобки: log1/2(9x - 3x - 27) ≥ -3.
Применяем свойство логарифма log b(c) ≥ a => c ≥ b^a, получаем: 9x - 3x - 27 ≥ 2^-3.
Упрощаем дальше: 6x - 27 ≥ 1/8.
Прибавляем 27 к обеим сторонам: 6x ≥ 1/8 + 27.
Упрощаем: 6x ≥ 27 + 1/8.
Приводим к общему знаменателю: 6x ≥ (27 * 8 + 1) / 8.
Далее: 6x ≥ 217 / 8.
Решаем: x ≥ 217 / (8 * 6).
Получаем: x ≥ 217 / 48.

Таким образом, решениями неравенства log1/2(x - 3) + log1/2(9 - x) ≥ -3 являются x ≤ 1 и x ≥ 217 / 48.

7*. Для решения неравенства log22x - 3log2x ≤ 4, воспользуемся свойством log b^c = c * log b и упростим неравенство.
Итак, имеем 2x - 3 * log2x ≤ 4.
Дальше, запишем логарифм log2x как log2(x) / log2(2).
Таким образом, неравенство превращается в: 2x - 3 * (log2(x) / log2(2)) ≤ 4.
Заметим, что log2(2) равно 1, поэтому можно упростить выражение.
Теперь у нас 2x - 3 * log2(x) ≤ 4.
Чтобы упростить последнюю часть, воспользуемся свойством log b(c) = a => c = b^a.
То есть, log2(x) = a => x = 2^a.
Возвращаясь к исходному неравенству, получаем: 2x - 3 * log2(x) ≤ 4.
Подставляем значение x: 2 * 2^a - 3a ≤ 4.
Упрощаем выражение: 2^(a+1) - 3a ≤ 4.
Приводим к общему знаменателю и записываем итоговое выражение: 2^(a+1) - 3a ≤ 4 * 2.

Чтобы решить неравенство 2^(a+1) - 3a ≤ 8, можно рассмотреть его график или воспользоваться численными методами, такими как метод итераций или метод подстановки.
Возможные значения a, удовлетворяющие неравенству, найдены численно: a ≤ 1.930218.

Таким образом, решением неравенства log22x - 3log2x ≤ 4 является: a ≤ 1.930218.