1. Все ребра треугольной пирамиды равны между собой. Найдите угол между скрещивающимся медианами двух граней этой пирамиды. Сколько решении имеет задача?

Пусть M и N – середины рёбер BC и AC данной пирамиды ABCD , все рёбра которой равны a . Тогда MN – средняя линия треугольника ABC . Поэтому MN || AB . Значит, угол между скрещивающимися прямыми DM и AB равен углу между пересекающимися прямыми DM и MN . Так как DM и DN – высоты и медианы равносторонних треугольников BCD и ACD , то

DN = DM = BD sin DBM = BD sin 60o = .

Кроме того, MN = AB = . Пусть K – середина MN . Тогда DK – медиана и высота равнобедренного треугольника DMN . Следовательно,

cos DMN = = = = .

ответ

arccos