1 вариант 1) Нарисуйте параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , обозначьте вектор СД и ВС соответственно через векторы и .
а) Изобразите на рисунке векторы , , ,
б) Изобразите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов
в) Разложите вектор по векторам
2)Даны векторы а{-1; 2; 0 } ,b{0; -5; -2 }, c{2; 1: -3}. Найдите координаты вектора р = 3 в – 2а + с
3) Даны точки А(4; -3; 5), В(6; -7; 5), С(5; 2; 1) и Д(3; 6; 1). Докажите, что АВСД – параллелограмм.
4) Вычислите угол между векторами АВ и СD , если А(3; -2; 4), В(4; -1; 2), С(6; -3; 2) , D(7; -3; 1)
5) Даны векторы а = 5 i - 2 j + 4 k и в = 3 j + 2 k . Вычислите а · в.

Добрый день! Давайте рассмотрим каждый вопрос по порядку.

1) Чтобы нарисовать параллелепипед АВСДА1В1С1Д1, мы должны представить себе трехмерную систему координат.

Пусть векторы АД (СД) и ВС обозначены как a и b соответственно, а векторы АС, АВ, А1С1 и А1В1 обозначим как c, d, e и f.

a) Изобразите на рисунке векторы a, b, c, d:
- Рисуем вектор a, начиная от точки А вдоль оси ОХ в правом направлении (так как координата х увеличивается) на длину параллелепипеда, а затем переводим его конец в точку Д.
- Рисуем вектор b, начиная от точки В вдоль оси ОХ вправо (как и a) на длину параллелепипеда, а затем переводим его конец в точку С.
- Вектор c начинаем в точке А и переносим его в точку С1.
- Вектор d начинаем в точке А и переносим его в точку В1.

б) Теперь нужно изобразить вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов a и b:
- Начинаем его на точке А, затем перемещаем его в точку Д, а затем оттуда в точку С1, затем в точку С, затем в точку В1, и наконец в точку В.

в) Теперь разложим вектор e (который начинается в точке С1 и заканчивается в точке В1) по векторам a, b, c и d.
- Мы можем представить вектор e как сумму векторов a, b, c и d:
e = a + b + c + d.

2) Даны векторы a{-1; 2; 0}, b{0; -5; -2}, c{2; 1; -3}. Найдем координаты вектора р = 3а - 2а + с:
- Умножим каждую координату вектора а на 3: 3 * (-1), 3 * 2, 3 * 0 = -3, 6, 0.
- Умножим каждую координату вектора а на -2: -2 * (-1), -2 * 2, -2 * 0 = 2, -4, 0.
- Сложим результаты:
координата х результата = -3 + 2 + 2 = 1,
координата у результата = 6 + (-4) + 1 = 3,
координата z результата = 0 + 0 + (-3) = -3.
Таким образом, координаты вектора р равны {1; 3; -3}.

3) Даны точки А(4; -3; 5), В(6; -7; 5), С(5; 2; 1) и Д(3; 6; 1). Докажем, что АВСД - параллелограмм.
- Для доказательства параллелограмма, необходимо проверить, что вектор АС равен вектору BD и вектор АВ равен вектору СD.
- Вычислим векторы и сравним их:
Вектор АС = вектор С - вектор А = (5 - 4; 2 - (-3); 1 - 5) = (1; 5; -4).
Вектор BD = вектор Д - вектор В = (3 - 6; 6 - (-7); 1 - 5) = (-3; 13; -4).
Вектор АВ = вектор В - вектор А = (6 - 4; -7 - (-3); 5 - 5) = (2; -4; 0).
Вектор СD = вектор Д - вектор С = (3 - 5; 6 - 2; 1 - 1) = (-2; 4; 0).
- Векторы АС и BD равны: (1; 5; -4) = (-3; 13; -4).
- Векторы АВ и СD равны: (2; -4; 0) = (-2; 4; 0).
- Таким образом, векторы АС и BD равны, и векторы АВ и СD равны. Значит, АВСД - параллелограмм.

4) Чтобы вычислить угол между векторами АВ и СD, воспользуемся формулой
cosθ = (АВ·CD) / (|АВ|·|CD|),
где АВ·CD - скалярное произведение векторов АВ и СD,
|АВ| и |СD| - длины векторов АВ и СD соответственно.

- Вычислим значения величин:
АВ·CD = (3 * 2) + (-2 * 4) + (4 * 0) = 6 - 8 = -2,
|АВ| = √(3² + (-2)² + 4²) = √(9 + 4 + 16) = √29,
|CD| = √((-2)² + 4² + 0²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5.

- Подставим полученные значения в формулу для нахождения cosθ:
cosθ = (-2) / (√29 * 2√5) = -2 / (2√145) = -1 / √145.

- Чтобы найти сам угол θ, нужно применить обратную тригонометрическую функцию cos⁻¹(-1 / √145):
θ = cos⁻¹(-1 / √145) ≈ 104.36°.

Таким образом, угол между векторами АВ и СD примерно равен 104.36°.

5) Даны векторы а = 5i - 2j + 4k и в = 3j + 2k. Найдем их скалярное произведение (а · в):
- Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:
а · в = 5 * 0 + (-2) * 3 + 4 * 2 = 0 - 6 + 8 = 2.

Таким образом, а · в = 2.