1 Вариант. 1.( ). На двери два замка. Вероятность того, что первый замок закрыт, равна 0,9. Вероятность того, что второй замок закрыт, равна 0,8. Вероятность того, что второй замок закрыт, равна 0,8. Вероятность того, что оба замка закрыты , равно 0,72.Найдите вероятность того, что закрыт хотя бы один замок.

2.( ). После прогулки в осеннем парке семья принесла домой корзину, в которой лежат кленовые листья разных цветов – 10 желтых, 12 зеленых и 5 пурпурных. Наудачу (случайно) вынимают 3 листа. Какова вероятность того, что все они не желтого цвета?

3.( ) Правильный игральный кубик кидают 2 раза. Событие А состоит в том, что второй раз выпало строго больше трех очков. Событие В состоит в том, что в сумме выпало не менее 8 очков. Найдите условную вероятность P(AIB) . Проверьте, являются ли события А и В независимыми.

4.( ). В течение месяца состоится 25 судебных разбирательств. В суде А будет рассмотрено 15 дел (по многолетнему опыту известно, что в этом суде вероятность вынести верный приговор составляет 0,80), а в суде Б – 10 дел (по опыту известно, что в этом суде вероятность вынести безошибочный приговор составляет 0,95). Какова вероятность того, что по итогам очередного судебного процесса будет вынесен ошибочный приговор?

1. Вероятность того, что закрыт один или оба замка можно найти с помощью формулы для нахождения вероятности суммы двух событий: P(один или оба замка закрыты) = P(первый замок закрыт) + P(второй замок закрыт) - P(оба замка закрыты) P(один или оба замка закрыты) = 0.9 + 0.8 - 0.72 = 0.98 Таким образом, вероятность того, что закрыт хотя бы один замок, составляет 0.98. 2. Вероятность того, что все три листа, вынутые наудачу, не желтого цвета можно найти с помощью формулы для нахождения вероятности произведения независимых событий: P(все листья не желтого цвета) = P(первый лист не желтого цвета) * P(второй лист не желтого цвета | первый лист не желтого цвета) * P(третий лист не желтого цвета | первый и второй листы не желтого цвета) P(все листья не желтого цвета) = (27/29) * (26/28) * (25/27) ≈ 0.813 Таким образом, вероятность того, что все три листа не желтого цвета, составляет около 0.813. 3. Условная вероятность P(A|B) можно найти с помощью формулы условной вероятности: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) Событие A состоит в том, что второй раз выпало строго больше трех очков. Вероятность этого события равна 1/3, так как у нас всего 6 возможных исходов при бросании двух игральных кубиков, и 2 из них удовлетворяют условию. Событие B состоит в том, что в сумме выпало не менее 8 очков. Вероятность этого события можно найти путем перечисления всех возможных исходов: Варианты, где сумма очков 8 или больше: (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6). Всего у нас 36 возможных исходов при бросании двух игральных кубиков, поэтому вероятность события B равна 15/36 = 5/12. Таким образом, P(A|B) = (1/3) / (5/12) = (1/3) * (12/5) = 4/5 = 0.8 События А и В являются независимыми, если P(A|B) = P(A). В данном случае P(A) = 1/3, и они не равны, поэтому события А и В не являются независимыми. 4. Вероятность того, что по итогам очередного судебного процесса будет вынесен ошибочный приговор можно найти с помощью формулы для нахождения вероятности произведения независимых событий: P(ошибка) = P(ошибка в суде А) + P(ошибка в суде Б) P(ошибка) = (1 - P(верный приговор в суде А)) + (1 - P(верный приговор в суде Б)) P(ошибка) = (1 - 0.8) + (1 - 0.95) = 0.2 + 0.05 = 0.25 Таким образом, вероятность того, что по итогам очередного судебного процесса будет вынесен ошибочный приговор, составляет 0.25.