1. В урне тысяча лотерейных билетов с номерами от 1 до 1000. Найти вероятность того, что
номер наудачу вынутого билета: а) четный; б) нечетный; в) делится на 3; г) не делится на 4.
2. Три фирмы выполняют один и тот же заказ. Вероятность того, что первая фирма выполнит
заказ в срок 0.75, вторая — 0.8, третья — 0.9, по отдельности. Определить вероятность того, что:
а) одновременно первая и вторая выполнят заказ, а третья не успеет; 6) все три одновременно не
выполнят заказ в срок.
3. В клетке 30 попугаев: 20 говорящих и 10 не говорящих. Наудачу выбирают 4 попугая. Какова
вероятность того, что среди них трое будут говорящих?
4. На экспертизу под скрытыми девизами поступают проекты от трех конкурирующих фирм.
Вероятность того что проект первой фирмы пройдет экспертизу с положительной оценкой равна
0.8, второй — 0.6, третий — 0.9. Для экспертизы выбрали наудачу только один проект. Он ее
с хорошей оценкой. Какова вероятность того, что это был проект первой фирмы?
5. Производится ряд выстрелов по мишени с вероятностью попадания 0.7 при каждом выстреле;
стрельба ведется до первого попадания в мишень, но не свыше 5 выстрелов. Найти закон
распределения, математическое ожидание и дисперсию числа произведенных выстрелов.
Построить функцию распределения, определить вероятность того, что число выстрелов до
первого попадания будет не меньше трех.
6. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения



   
   

0, 0
exp( ), 0
( )
x
A x x
p x
Требуется построить графики плотности распределения и функции распределения, определив
предварительно параметр А. Найти математическое ожидание, дисперсию,
среднеквадратическое отклонение. Найти вероятность того, что отклонение случайной
величины от математического ожидания будет не более среднеквадратического отклонения.
7 При обследовании 50 членов семей рабочих и служащих установлено следующее количество
членов семьи: 5; 3; 2; 1; 4; 6; 3; 7; 9; 1; 3; 2; 5; 6; 8; 2; 5; 2; 3; 6; 8; 3; 4; 4; 5; 6; 5; 4; 7; 5; 6; 4; 8; 7;
4; 5; 7; 8; 6; 5; 7; 5; 6; 6; 7; 3; 4; 6; 5; 4. Составьте вариационный ряд распределения частот.
Постройте полигон распределения частот, кумуляту. Определите среднее число членов семьи,
среднеквадратическое отклонение.
8 Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально
с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина
изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина
наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.
9 С собственно - случайного повторного отбора фирма провела обследование 900
своих служащих. Среди обследованных оказалось 270 женщин. Определите с вероятностью 0.9
доверительный интервал, накрывающий неизвестную долю женщин во всѐм коллективе фирмы.

1.
а) Четные числа можно получить, если из чисел от 1 до 1000 выберем только те, которые делятся на 2. Всего таких чисел будет 500. Таким образом, вероятность того, что номер наудачу вынутого билета будет четным, равна 500/1000 = 0.5.

б) Нечетные числа можно получить, если из чисел от 1 до 1000 выберем только те, которые НЕ делятся на 2. Всего таких чисел тоже будет 500. Таким образом, вероятность того, что номер наудачу вынутого билета будет нечетным, также равна 500/1000 = 0.5.

в) Числа, которые делятся на 3, можно получить, если из чисел от 1 до 1000 выберем только те, которые делятся на 3. Всего таких чисел будет 333 (максимальное число, которое делится на 3 и меньше или равно 1000, равно 999). Таким образом, вероятность того, что номер наудачу вынутого билета будет делиться на 3, равна 333/1000 = 0.333.

г) Числа, которые НЕ делятся на 4, можно получить, если из чисел от 1 до 1000 выберем только те, которые НЕ делятся на 4. Всего таких чисел будет 750 (так как каждое 4-е число делится на 4, а 1000/4 = 250). Таким образом, вероятность того, что номер наудачу вынутого билета не будет делиться на 4, равна 750/1000 = 0.75.

2.
а) Поскольку фирмы выполняют заказы независимо друг от друга, вероятность того, что первая фирма выполнит заказ в срок, равна 0.75, а вероятность того, что вторая фирма выполнит заказ в срок, равна 0.8. Таким образом, вероятность того, что одновременно первая и вторая фирма выполнят заказ (а третья не успеет), равна 0.75 * 0.8 = 0.6.

6) Вероятность того, что все три фирмы не выполнит заказ в срок, равна вероятности того, что первая фирма не выполнит заказ в срок * вероятности того, что вторая фирма не выполнит заказ в срок * вероятности того, что третья фирма не выполнит заказ в срок. Таким образом, вероятность равна (1 - 0.75) * (1 - 0.8) * (1 - 0.9) = 0.05.

3.
Всего возможных комбинаций выбрать 4 попугая из 30 равно C(30, 4) - количество сочетаний 30 по 4. Таким образом, число возможных комбинаций равно C(30, 4) = 27,405.

Для того чтобы найти вероятность, что среди выбранных 4 попугаев будут 3 говорящих, нужно найти количество комбинаций выбрать 3 говорящих попугая из 20 и 1 не говорящего попугая из 10. Количество таких комбинаций равно C(20, 3) * C(10, 1) = 1140. Таким образом, вероятность того, что среди выбранных 4 попугаев будет ровно 3 говорящих, равна 1140/27,405 ≈ 0.0416.

4.
Пусть событие A - проект принадлежит первой фирме, а событие B - проект получил положительную оценку.

Мы задача найти P(A|B), вероятность того, что проект принадлежит первой фирме, если он получил положительную оценку.

Из условия известно, что вероятность того, что проект первой фирмы пройдет экспертизу с положительной оценкой, равна 0.8. Таким образом, P(B|A) = 0.8.

Используем формулу Байеса: P(A|B) = ( P(B|A) * P(A) ) / P(B)

P(A) - вероятность того, что выбранный проект принадлежит первой фирме. Поскольку проект выбран наудачу, то P(A) = 1/3.

P(B) - общая вероятность получить положительную оценку: P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|B) * P(B) + P(B|C) * P(C), где P(B|B) и P(B|C) - вероятность получить положительную оценку для проекта второй и третьей фирм соответственно.

Поскольку один проект осмотрелся и получил хороший результат, вероятность P(B|B) = 0.6 (вероятность, что проект принадлежит второй фирме и прошел проверку) и P(B|C) = 0.9 (вероятность, что проект принадлежит третьей фирме и прошел проверку). Поскольку проект выбран наудачу, то P(B|B) = 1/3 и P(B|C) = 1/3.

Теперь можно вычислить P(B):

P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|B) * P(B) + P(B|C) * P(C)
P(B) = 0.8 * 1/3 + 1/3 * 1/3 + 1/3 * 1/3
P(B) = 0.2667

Таким образом, P(A|B) = ( P(B|A) * P(A) ) / P(B) = ( 0.8 * 1/3 ) / 0.2667 ≈ 0.8.

5.
Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0.7.

а) Чтобы попасть в мишень на n-м выстреле, нужно не попасть в мишень на каждом из (n-1) предыдущих выстрелов и попасть на n-м. Вероятность попасть в мишень на n-м выстреле равна (1-0.7)^(n-1) * 0.7.

номер выстрела | вероятность попадания
1 | 0.7
2 | (1-0.7)^(2-1) * 0.7
3 | (1-0.7)^(3-1) * 0.7
4 | (1-0.7)^(4-1) * 0.7
5 | (1-0.7)^(5-1) * 0.7

Таким образом, закон распределения числа произведенных выстрелов имеет вид:

0.7, (1-0.7)^(2-1) * 0.7, (1-0.7)^(3-1) * 0.7, (1-0.7)^(4-1) * 0.7, (1-0.7)^(5-1) * 0.7.

Математическое ожидание можно вычислить как сумму произведений номеров выстрелов и вероятностей равенства числа выстрелов:

1*0.7 + 2*((1-0.7)^(2-1) * 0.7) + 3*((1-0.7)^(3-1) * 0.7) + 4*((1-0.7)^(4-1) * 0.7) + 5*((1-0.7)^(5-1) * 0.7).

Дисперсию можно вычислить, используя формулу Var(X) = E(X^2) - E(X)^2, где E(X^2) - математическое ожидание квадрата случайной величины X.

Среднеквадратическое отклонение можно найти как квадратный корень из дисперсии.

Функция распределения числа выстрелов до первого попадания строится по формуле F(x) = P(X <= x), где X - случайная величина, которая равна числу произведенных выстрелов до первого попадания. Вероятность P(X <= x) можно найти как сумму вероятностей равенства числа выстрелов от 1 до x.

Вероятность того, что число выстрелов до первого попадания будет не меньше трех, равна 1 - P(X < 3), где P(X < 3) можно найти как сумму вероятностей равенства числа выстрелов от 1 до 2.

6.
Плотность распределения дана