1. три вершины параллелограмма имеют следующие координаты: а(-6; -4), b(-4; 8), c(1; 5), причем a и c - противоположные вершины. определить координаты четвертой вершины параллелограмма и уравнения его диагоналей

2.даны две точки: a(-3; 1) и в(3; -7). на оси ординат найти такую точку м, чтобы прямые
am и bm были перпендикулярны друг другу.

3. на оси ординат найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от прямой
3х -4y+12=0.

4. определить, при каких значениях m и т плоскости 3х+ my + 2z-7=0 и
их – 4у – 4z + 3 = 0 будут параллельны, и найти расстояние между ними.

5. написать уравнение плоскости, параллельной оси оу и отсекающей на осях ох и oz
отрезки, равные 2 и 3 ед. найти угол между построенной плоскостью и плоскостью
4x-3y-z+2= 0.

6.проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки. а : (1; -1; 1).
в(0; 2; 4), c(1; 3; 3) и d(4: 0: -3).​

Добрый день! Давайте по очереди рассмотрим каждый из ваших вопросов и найдем решение.

1. Для определения координат четвертой вершины параллелограмма требуется найти сумму координат точек А и С, а затем отнять от этой суммы координаты точки В. Таким образом, координаты четвертой вершины (D) можно найти следующим образом:
xD = xA + xC - xB = -6 + 1 - (-4) = -6 + 1 + 4 = -1
yD = yA + yC - yB = -4 + 5 - 8 = -7
Таким образом, координаты четвертой вершины параллелограмма D равны (-1; -7).

Для нахождения уравнений диагоналей параллелограмма, нам необходимо использовать формулы для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Уравнение прямой, проходящей через точки A(-6; -4) и C(1; 5), будет иметь вид:
(y - yA) / (xC - xA) = (x - xA) / (yC - yA)
Подставляя значения в формулу, получим:
(y + 4) / (1 - (-6)) = (x + 6) / (5 - (-4))
(y + 4) / 7 = (x + 6) / 9

Умножаем обе части уравнения на 7 и 9, чтобы избавиться от знаменателей:
9(y + 4) = 7(x + 6)
9y + 36 = 7x + 42
9y = 7x + 6

Таким образом, уравнение одной из диагоналей параллелограмма будет 9y = 7x + 6.

Аналогичным образом найдем уравнение второй диагонали, проходящей через точки B(-4; 8) и D(-1; -7). Получим:
(y - yB) / (xD - xB) = (x - xB) / (yD - yB)
Подставляя значения в формулу, получим:
(y - 8) / (-1 - (-4)) = (x + 4) / (-7 - 8)
(y - 8) / 3 = (x + 4) / (-15)

Умножаем обе части уравнения на 3 и (-15), чтобы избавиться от знаменателей:
-15(y - 8) = 3(x + 4)
-15y + 120 = 3x + 12
-15y = 3x - 108

Таким образом, уравнение второй диагонали параллелограмма будет -15y = 3x - 108.

2. Для того чтобы прямые am и bm были перпендикулярными, их коэффициенты наклона должны обладать обратными значениями исключая случай, когда один из них равен нулю.

Найдем уравнение прямой am, проходящей через точки a(-3; 1) и m(x; y). Ее уравнение будет иметь вид:
(y - yA) / (x - xA) = (y - 1) / (x + 3)
(y - 1) / (x - (-3)) = (y - 1) / (x + 3)

Теперь найдем уравнение прямой bm, проходящей через точки b(3; -7) и m(x; y). Это уравнение будет иметь вид:
(y - yB) / (x - xB) = (y + 7) / (x - 3)
(y + 7) / (x - 3) = (y + 7) / (x - 3)

Как видно, при равенстве этих уравнений получается тождество, что означает, что эти прямые совпадают и могут быть только параллельными, но не перпендикулярными друг другу.

3. Чтобы найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от прямой 3x - 4y + 12 = 0, нужно воспользоваться фактом, что расстояние от точки до прямой равно отношению модуля значения левой части уравнения прямой к корню суммы квадратов коэффициентов при x и y в уравнении прямой.

Уравнение прямой можно записать в виде y = (3/4)x + 3:

3x - 4y + 12 = 0
4y = 3x + 12
y = (3/4)x + 3

Таким образом, чтобы точка была одинаково удалена от начала координат и от прямой, нужно найти пересечение прямой y = (3/4)x + 3 и ее перпендикулярной линии через начало координат.

Уравнение перпендикулярной линии будет иметь вид y = -(4/3)x. Подставив его в уравнение прямой, получаем:

(3/4)x + 3 = -(4/3)x
(3/4)x + (4/3)x = -3
(9/12)x + (16/12)x = -3
(25/12)x = -3
x = -3 * (12/25)
x = -36/25

Теперь подставляем найденное значение x в уравнение прямой или перпендикулярной линии, чтобы найти значение y:

y = -(4/3) * (-36/25)
y = 48/25

Таким образом, найденная точка, одинаково удаленная от начала координат и от прямой, имеет координаты (-36/25, 48/25).

4. Чтобы две плоскости были параллельными, их нормальные векторы, задающие коэффициенты уравнений плоскостей, должны быть пропорциональными.

Уравнение первой плоскости 3х + my + 2z - 7 = 0. Вектор нормали этой плоскости имеет координаты (3, m, 2).

Уравнение второй плоскости их - 4у - 4z + 3 = 0. Вектор нормали этой плоскости имеет координаты (0, -4, -4).

Чтобы векторы нормалей были пропорциональными, их координаты должны быть пропорциональными. Запишем это в виде соотношения:

3/0 = m/-4 = 2/-4

Первое соотношение 3/0 означает, что 3 и 0 не пропорциональны, поэтому эти две плоскости не параллельны.

Для нахождения расстояния между плоскостями можно использовать формулу:

d = |(A₁x + B₁y + C₁z - D₁)| / √(A₂² + B₂² + C₂²)

где А₁, В₁, С₁, D₁ - коэффициенты уравнения первой плоскости, а А₂, В₂, С₂ - коэффициенты уравнения второй плоскости.

Подставляя значения в формулу, получим:

d = |(3x + my + 2z - 7)| / √(0² + (-4)² + (-4)²)
d = |(3x + my + 2z - 7)| / √(16 + 16)
d = |(3x + my + 2z - 7)| / √32
d = √2 * |(3x + my + 2z - 7)|

Таким образом, расстояние между плоскостями равно √2 * |(3x + my + 2z - 7)|.

5. Чтобы найти уравнение плоскости, параллельной оси оу и отсекающей на осях ох и oz отрезки, равные 2 и 3, соответственно, нам следует использовать общее уравнение плоскости и подставить значения отрезков:

Ax + By + Cz + D = 0

Так как плоскость параллельна оси оу, коэффициент при у (В) должен быть равен нулю.

Также учтем, что плоскость отсекает на осях ох и oz отрезки, равные 2 и 3:

D = ±√(2² + 3²) = ±√13

Таким образом, уравнение искомой плоскости имеет вид 0x + 0y + Cz ± √13 = 0, где С - любое число.

Чтобы найти угол между построенной плоскостью и плоскостью 4x - 3y - z + 2 = 0, мы можем использовать формулу для нахождения угла между нормальными векторами двух плоскостей.

Нормальный вектор первой плоскости равен (0, 0, C), а нормальный вектор второй плоскости равен (4, -3, -1).

Теперь подставим значения в формулу:

cos(θ) = |(A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂)| / ( sqrt(A₁² + B₁² + C₁²) * sqrt(A₂² + B₂² + C₂²) )

cos(θ) = |(0 * 4 + 0 * (-3) + C * (-1))| / ( sqrt(0² + 0² + C²) * sqrt(4² + (-3)² + (-1)²) )

cos(θ) = |-C| / ( sqrt(C²) * sqrt(16 + 9 + 1) )

cos(θ) = |-C| / ( |C| * sqrt(26) )

cos(θ) = 1 / sqrt(26)

θ = arccos(1 / sqrt(26))

Таким образом, угол между построенной плоскостью и плоскостью 4x - 3y - z + 2 = 0 равен arccos(1 / sqrt(26)).

6. Для проверки возможности проведения плоскости через четыре точки (1, -1, 1), (0, 2, 4), (1, 3, 3) и (4, 0, -3), мы можем преобразовать задачу к нахождению пространственного векторного произведения векторов, образованных этими точками.

Плоскость может быть проведена через точки A, В, С и D, только если векторное произведение векторов AB и CD равно нулю.

Вектор AB: B - A = (0, 2, 4) - (1, -1, 1) = (-1, 3, 3)

Вектор CD: D - C = (4, 0, -3) - (1, 3, 3) = (3, -3, -6)

Посчитаем векторное произведение векторов AB и CD:

(AB) x (CD) = (-1, 3, 3) x (3, -3, -6) = (-9, -3, -6) - (-9, 9, -9) = (0, -6, 3)

В результате векторное произведение векторов AB и CD не равно нулю, поэтому плоскость не может быть проведена через эти четыре точки.