1. Шар пересечен плоскостью. Диаметр окружности сечения равен 30 см. Вычислите объем меньшего сегмента, если радиус шара равен 20 см.
2. Дана площадь поверхности сферы 2500Пи см^2 . Определите диаметр сферы.
3. Площади поверхностей двух шаров относятся как 4:9 . Найдите отношение их диаметров.
4. Объем шара равен 288дм^3 . Найдите площадь его поверхности.
5. Шар радиуса 5 пересечен плоскостью на расстоянии 3 от центра. Найдите площадь сечения.
6. Радиусы трех шаров равны 3 ,4 и 5 . Найдите радиус шара, объем которого равен сумме объемов данных шаров.

1. Чтобы вычислить объем меньшего сегмента, нужно знать радиус и высоту сегмента.

Диаметр окружности сечения равен 30 см, что значит, что радиус сечения равен половине диаметра, то есть 15 см.

Высоту сегмента можно найти, используя теорему Пифагора. Для этого нужно взять квадрат радиуса шара и вычесть из него квадрат радиуса сечения:
Высота = √(Радиус^2 - Радиус_сечения^2)
Высота = √(20^2 - 15^2) = √(400 - 225) = √175 = 5√7

Теперь можем вычислить объем сегмента, используя формулу:
Объем сегмента = (1/3) * Площадь_сечения * высота
Объем сегмента = (1/3) * (30^2Пи) * 5√7 = 50Пи√7

Ответ: объем меньшего сегмента равен 50Пи√7.

2. Площадь поверхности сферы равна 2500Пи см^2. Чтобы найти диаметр сферы, нужно использовать формулу для площади поверхности сферы:
Площадь поверхности = 4Пи * Радиус^2

Подставляя значения в формулу, получим:
2500Пи = 4Пи * Радиус^2

Деля обе части уравнения на 4Пи, получим:
Радиус^2 = 625

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получим:
Радиус = √625 = 25

Диаметр равен удвоенному радиусу, то есть:
Диаметр = 2 * 25 = 50

Ответ: диаметр сферы равен 50 см.

3. Площади поверхностей двух шаров относятся как 4:9. Пусть радиусы этих шаров будут r и R. Тогда площадь первого шара равна 4Пир^2, а площадь второго шара равна 9ПиR^2.

По условию задачи, отношение площадей равно 4:9:
(4Пир^2) / (9ПиR^2) = 4/9

Сокращая обе части уравнения на 4Пи, получим:
r^2 / R^2 = 1/9

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получим:
r / R = 1/3

Ответ: отношение диаметров шаров равно 1/3.

4. Объем шара равен 288дм^3. Чтобы найти площадь его поверхности, нужно использовать формулу для объема шара:
Объем шара = (4/3) * Пи * Радиус^3

Подставляя значение объема и переставляя формулу, чтобы найти радиус, получим:
Радиус^3 = (3/4 * 288) / Пи

Раскрывая скобки и упрощая, получим:
Радиус^3 = 216 / Пи

Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получим:
Радиус ≈ 6.36

Теперь можем найти площадь поверхности, используя формулу:
Площадь поверхности = 4Пи * Радиус^2
Площадь поверхности ≈ 4 * 3.14 * (6.36)^2 ≈ 319.60

Ответ: площадь поверхности шара примерно равна 319.60 дм^2.

5. Шар радиуса 5 см пересечен плоскостью на расстоянии 3 см от центра. Найдем радиус сечения.

Рассмотрим треугольник, образованный половиной сечения шара и радиусом, проведенным от центра шара до точки пересечения плоскости. Так как это равнобедренный треугольник, то можно использовать теорему Пифагора для нахождения радиуса сечения.

По теореме Пифагора:
(Радиус сечения)^2 = (Радиус шара)^2 - (Расстояние от центра до сечения)^2
(Радиус сечения)^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получим:
Радиус сечения = √16 = 4

Ответ: радиус сечения равен 4 см.

6. Радиусы трех шаров равны 3, 4 и 5. Найдем радиус шара, объем которого равен сумме объемов данных шаров.

Объем шара равен (4/3) * Пи * Радиус^3. Поэтому, чтобы найти радиус искомого шара, нужно использовать формулу, обратную формуле для объема шара.

Сумма объемов трех шаров равна:
Объем1 + Объем2 + Объем3 = (4/3) * Пи * 3^3 + (4/3) * Пи * 4^3 + (4/3) * Пи * 5^3 = (4/3) * Пи * (27 + 64 + 125)

Сокращая коэффициент и складывая числа, получим:
Объем1 + Объем2 + Объем3 = (4/3) * Пи * 216

Теперь нужно найти радиус искомого шара:
(4/3) * Пи * Радиус^3 = (4/3) * Пи * 216

Сокращая коэффициент и складывая числа, получим:
Радиус^3 = 216

Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получим:
Радиус = 6

Ответ: радиус шара, объем которого равен сумме объемов трех данных шаров, равен 6.