1. Разность квадратов двух натуральных чисел равна 71. Найдите эти числа.​

Для решения данной задачи о разности квадратов нам надо использовать алгебраическое равенство: (a - b)(a + b) = a^2 - b^2, где a и b - это два натуральных числа, а a^2 и b^2 - их квадраты.

Дано: разность квадратов двух натуральных чисел равна 71.
Мы можем записать это в виде уравнения: a^2 - b^2 = 71.

Чтобы найти числа a и b, мы должны найти такие натуральные числа, разность квадратов которых равна 71.

Есть несколько подходов к решению этой задачи. Один из них - перебор чисел. Мы можем пробовать разные значения a и b, пока не найдем такие значения, для которых выполняется уравнение a^2 - b^2 = 71.

Можно начать с наименьших натуральных чисел: a = 1 и b = 0 (так как a и b натуральные числа, нужно исключить 0).

a^2 - b^2 = 1^2 - 0^2 = 1 - 0 = 1 (не равно 71).
Продолжая перебор, мы можем увеличивать значения a и b на единицу и проверять уравнение a^2 - b^2 = 71:

a = 2, b = 1: 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 (не равно 71).
a = 3, b = 2: 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5 (не равно 71).
a = 4, b = 3: 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7 (не равно 71).
...
a = 8, b = 7: 8^2 - 7^2 = 64 - 49 = 15 (не равно 71).
...
a = 35, b = 34: 35^2 - 34^2 = 1225 - 1156 = 69 (не равно 71).

Продолжая таким образом, мы можем перебирать значения a и b. Однако в данной задаче мы не находим точного значения для a и b, которые удовлетворяют уравнению a^2 - b^2 = 71.

Поэтому, обратимся к алгебраическим методам решения такого уравнения. Мы можем записать его в виде: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = 71.

Теперь нам нужно найти такие числа (a - b) и (a + b), которые дадут в итоге 71 при их умножении:

(a - b)(a + b) = 71.

Что такое делители числа 71? Поскольку 71 - простое число, его делители 1 и 71.
То есть, у нас есть две системы уравнений:

1. a - b = 1, a + b = 71.

Из первого уравнения a = b + 1, подставляем его во второе уравнение:

(b + 1) + b = 71.
2b + 1 = 71.
2b = 71 - 1.
2b = 70.
b = 70 / 2.
b = 35.

Теперь подставляем b в первое уравнение:
a - 35 = 1.
a = 1 + 35.
a = 36.

Итак, первая пара чисел, удовлетворяющих уравнению a^2 - b^2 = 71, состоит из чисел 36 и 35.

2. a - b = 71, a + b = 1.

Из первого уравнения a = b + 71, подставляем его во второе уравнение:

(b + 71) + b = 1.
2b + 71 = 1.
2b = 1 - 71.
2b = -70.
b = -70 / 2.
b = -35.

Теперь подставляем b в первое уравнение:
a - (-35) = 71.
a + 35 = 71.
a = 71 - 35.
a = 36.

Итак, вторая пара чисел, удовлетворяющих уравнению a^2 - b^2 = 71, также состоит из чисел 36 и 35.

В итоге, мы получили две пары чисел: (36, 35) и (36, -35), которые удовлетворяют условию задачи.