1. Профком выделяет на лабораторию в составе 30 сотрудников три путевки в дом отдыха. Сколько вариантов распределения существует, если сотрудник может получить только одну путевку? 2. Сколькими можно составить расписание одного учебного дня из четырех занятий по разным предметам для студентов, изучающих 10 дисциплин.

3. Из корзины с яблоками и грушами выбирают два яблока и одну грушу. Сколькими это можно сделать, если в корзине пять яблок и три груши?

4. Владелец компьютера забыл пароль, но вспомнил, что пароль содержит три цифры, каждая кратна трем. Сколько вариантов пароля существует?

5. Шесть книг случайным образом ставятся на три полки. Сколько существует вариантов попадания трех книг на одну из них?

6. Бригаде ремонтников поступило девять заказов на ремонт оборудования со сроком исполнения трое суток. Сколько вариантов распределения исполнения заказов по суткам у нее есть?

1. Чтобы найти количество вариантов распределения путевок, мы используем комбинаторику. Мы должны выбрать трех человек из 30, поэтому нам понадобится использовать комбинации. Формула для комбинаций из n элементов, выбранных k элементов, выглядит следующим образом:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

где n! - это факториал числа n, k! - факториал числа k, а (n-k)! - факториал числа (n-k).

В нашем случае, n = 30 и k = 3. Подставим значения в формулу:

C(30, 3) = 30! / (3! * (30-3)!)

30! = 30 * 29 * 28 * ... * 3 * 2 * 1
3! = 3 * 2 * 1
27! = 27 * 26 * ... * 3 * 2 * 1

Сокращаем подобные члены:

C(30, 3) = (30 * 29 * 28) / (3 * 2 * 1)

Мы можем упростить выражение:

30 * 29 * 28 = 24360
3 * 2 * 1 = 6

Таким образом, количество вариантов распределения путевок равно 24360 / 6 = 4060.

Ответ: Существует 4060 вариантов распределения путевок.

2. Чтобы найти количество вариантов составления расписания на один учебный день из четырех занятий, мы снова используем комбинаторику. Мы должны выбрать четыре занятия из десяти, поэтому нам понадобится использовать комбинации. Подставим значения в формулу:

C(10, 4) = 10! / (4! * (10-4)!)

10! = 10 * 9 * 8 * ... * 3 * 2 * 1
4! = 4 * 3 * 2 * 1
6! = 6 * 5 * ... * 3 * 2 * 1

Сокращаем подобные члены:

C(10, 4) = (10 * 9 * 8 * 7) / (4 * 3 * 2 * 1)

Мы можем упростить выражение:

10 * 9 * 8 * 7 = 5040
4 * 3 * 2 * 1 = 24

Таким образом, количество вариантов составления расписания равно 5040 / 24 = 210.

Ответ: Можно составить 210 вариантов расписания на один учебный день.

3. Чтобы найти количество вариантов выбора двух яблок и одной груши из корзины, мы используем комбинаторику. Мы должны выбрать два яблока из пяти и одну грушу из трех. Подставим значения в формулу:

C(5, 2) * C(3, 1) = (5! / (2! * (5-2)!) * (3! / (1! * (3-1)!))

Упростим формулы:

C(5, 2) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10
C(3, 1) = (3 * 2) / (1 * 1) = 6

Вычислим выражение:

10 * 6 = 60

Ответ: Можно сделать выбор двух яблок и одной груши на 60 различных способов.

4. Пароль должен состоять из трех цифр, каждая из которых кратна трем. Мы можем выбрать первую цифру пароля из значений 3, 6 или 9, вторую цифру из тех же значений и третью цифру также из тех же значений. Подставим значения в формулу:

3 * 3 * 3 = 27

Ответ: Существует 27 вариантов пароля.

5. Чтобы найти количество вариантов попадания трех книг на одну из трех полок, мы используем перестановки. Мы должны выбрать три книги из шести и поместить их на одну из трех полок. Формула для перестановок из n элементов, выбираемых k элементов, выглядит следующим образом:

P(n, k) = n! / (n-k)!

В нашем случае, n = 6 и k = 3. Подставим значения в формулу:

P(6, 3) = 6! / (6-3)!

6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
3! = 3 * 2 * 1

Сокращаем подобные члены:

P(6, 3) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1)

Мы можем упростить выражение:

6 * 5 * 4 = 120
3 * 2 * 1 = 6

Таким образом, количество вариантов попадания трех книг на одну полку равно 120 / 6 = 20.

Ответ: Существует 20 вариантов попадания трех книг на одну полку.

6. Чтобы найти количество вариантов распределения исполнения девяти заказов на три сутки, мы снова используем комбинаторику. Мы должны распределить девять заказов по трем суткам. Для каждого заказа у нас будет три варианта исполнения: первая сутки, вторая сутки или третья сутки. Поскольку у нас девять заказов, всего будет 3^9 вариантов распределения.

Ответ: У бригады ремонтников есть 3^9, или 19683, варианта распределения исполнения заказов по суткам.