1. Найти одну из первообразных функции: a) f(x) = 3cos x/7 + 2е^3x - 1/2
b) f(x) = x - 3/√‎x
пож

Для решения этой задачи, мы должны найти первообразную каждой из данных функций.

a) f(x) = 3cos(x/7) + 2e^(3x) - 1/2

Начнем с первого слагаемого 3cos(x/7). Здесь у нас есть функция cos с аргументом x/7. Мы знаем, что первообразная cos(x) равна sin(x), поэтому чтобы найти первообразную cos(x/7), мы вместо x должны подставить x/7. Таким образом, первообразная первого слагаемого равна:

∫ 3cos(x/7) dx = 3∫ cos(x/7) dx = 3sin(x/7)

Следующее слагаемое 2e^(3x) является экспоненциальной функцией. Мы знаем, что первообразная экспоненциальной функции e^x равна самой функции e^x. Однако, чтобы найти первообразную 2e^(3x), мы также должны учесть коэффициент 2 и делить на коэффициент 3 в степени x/3. Таким образом, первообразная второго слагаемого равна:

∫ 2e^(3x) dx = (2/3)∫ 3e^(3x) dx = (2/3)e^(3x)

Последнее слагаемое -1/2 не содержит переменной x, поэтому его первообразная равна -1/2x.

Таким образом, первообразная функции f(x) равна:

F(x) = 3sin(x/7) + (2/3)e^(3x) - (1/2)x

b) f(x) = x - 3/√‎x

Начнем с первого слагаемого x. Первообразная функции x равна функции (1/2)x^2. Здесь мы добавляем степень 2 и коэффициент 1/2 для более простого интегрирования. Таким образом, первообразная первого слагаемого равна:

∫ x dx = (1/2)x^2

Следующее слагаемое -3/√‎x содержит корень квадратный и инверсию. Чтобы упростить интегрирование, мы можем представить его в виде -3x^(-1/2):

∫ -3/√‎x dx = -3∫ x^(-1/2) dx

Мы знаем, что первообразная x^n равна (1/(n+1))x^(n+1), поэтому первообразная второго слагаемого равна:

-3∫ x^(-1/2) dx = -3(1/(0+1))x^(0+1) = -3(1)x^(1/2) = -3√‎x

Таким образом, первообразная функции f(x) равна:

F(x) = (1/2)x^2 - 3√‎x

Это и есть ответ на вопрос.