1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой y=(x-1)^2, прямыми х=-1 и X= 2 и осью Ох.
Ing h +​

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=(x-1)^2, прямыми x=-1, x=2 и осью Ox, нам нужно разделить эту фигуру на две части: одна часть будет лежать ниже параболы, а другая - над параболой. Для начала, найдем точки пересечения параболы с вертикальными прямыми x=-1 и x=2. Подстановка x=-1 в уравнение параболы дает: y=(-1-1)^2 = (-2)^2 = 4 Таким образом, точка пересечения с прямой x=-1 - (-1, 4). Подстановка x=2 в уравнение параболы дает: y=(2-1)^2 = (1)^2 = 1 Таким образом, точка пересечения с прямой x=2 - (2, 1). Теперь у нас есть две точки пересечения линий с параболой - (-1, 4) и (2, 1). Давайте нарисуем эту фигуру на координатной плоскости, чтобы лучше визуализировать ее: ``` | 4 | + (2, 1) | 3 | | 2 | + (0, 0)-----(0, 0) | / 1 |----/-----------------(1, 0) | 0 +-1---------2---------3--- ``` Как видно из графика, фигура ограничена параболой налево и прямыми справа и слева. Теперь нужно найти площади каждой части этой фигуры и сложить их, чтобы получить общую площадь. Давайте начнем с верхней части фигуры, ограниченной параболой и прямой x=-1. Площадь этой части можно найти путем интегрирования функции параболы от точки пересечения с x=-1 до точки пересечения с параболой (2, 1). Интеграл площади выражается следующим образом: ∫{(x-1)^2}dx от x=-1 до x=2 Для простоты, мы можем использовать метод аналитического интегрирования, чтобы найти точное значение этого интеграла. ∫{(x-1)^2}dx = (x^3/3 - x^2 + 2x) | от x=-1 до x=2 Давайте вычислим этот интеграл: Подставим x=2: (2^3/3 - 2^2 + 2*2) = (8/3 - 4 + 4) = 8/3 Подставим x=-1: ((-1)^3/3 - (-1)^2 + 2*(-1)) = (-1/3 - 1 + (-2)) = -1/3 - 1 - 2 = -10/3 Теперь вычтем значение интеграла в точке x=-1 из значения интеграла в точке x=2: 8/3 - (-10/3) = 8/3 + 10/3 = 18/3 = 6 Таким образом, площадь верхней части фигуры равна 6. Теперь давайте найдем площадь нижней части фигуры, ограниченной параболой и прямыми x=-1 и x=2. Площадь этой части также можно найти путем интегрирования функции параболы от точки пересечения с x=-1 до точки пересечения с параболой (2, 1), но учитывая, что она находится под осью Ox, мы должны интегрировать с отрицательным знаком. ∫{-((x-1)^2)}dx от x=-1 до x=2 Аналогично, мы можем использовать метод аналитического интегрирования для решения этого интеграла. ∫{-((x-1)^2)}dx = -((x^3/3 - x^2 + 2x)) | от x=-1 до x=2 Подставим x=2: -(2^3/3 - 2^2 + 2*2) = -(8/3 - 4 + 4) = -(8/3 - 8/3) = -0 Подставим x=-1: -((-1)^3/3 - (-1)^2 + 2*(-1)) = -(-1/3 - 1 + (-2)) = -(-1/3 - 1 - 2) = -(-10/3) = 10/3 Теперь вычтем значение интеграла в точке x=-1 из значения интеграла в точке x=2: 0 - 10/3 = 0 - 10/3 = -10/3 Таким образом, площадь нижней части фигуры равна -10/3. Теперь, чтобы найти общую площадь фигуры, мы должны сложить площади верхней и нижней частей: 6 + (-10/3) = 6 - 10/3 Для удобства, можно представить 6 в виде дроби с общим знаменателем: 6 = 18/3 Теперь сложим две дроби с общим знаменателем: 18/3 - 10/3 = 8/3 Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой y=(x-1)^2, прямыми x=-1 и x=2 и осью Ox, равна 8/3.