1. Найдите критические (стационарные) точки функции f(x)=2x3+3x2-72x-213.  2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=x3-9x2+24x-15 на отрезке [1;3]. 

3. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=3x2-4x-2, в точке графика с абсциссой x0=-1. 

4. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)=2x2+x и прямыми x=0, x=1. 

5. Первообразная функции f(x)=4x3+2x при x=1 принимает значение 25. Найдите ее значение при x=2. 

​

1. Для нахождения критических точек функции, мы ищем значения x, для которых производная функции равна нулю или не существует. То есть, мы находим f'(x) и приравниваем его к нулю:

f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 72x - 213
f'(x) = 6x^2 + 6x - 72

Теперь приравняем производную к нулю:

6x^2 + 6x - 72 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя дискриминант:

D = b^2 - 4ac
D = (6)^2 - 4(6)(-72)
D = 36 + 1728
D = 1764

Так как D > 0, у нас есть два корня:

x1 = (-b + sqrt(D))/(2a) = (-6 + sqrt(1764))/(2*6) = (-6 + 42)/(12) = 36/12 = 3
x2 = (-b - sqrt(D))/(2a) = (-6 - sqrt(1764))/(2*6) = (-6 - 42)/(12) = -48/12 = -4

Итак, критические точки функции f(x) равны x = 3 и x = -4.

2. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции y на отрезке [a; b], нам нужно найти значения функции на концах отрезка и в критических точках внутри этого отрезка, а затем сравнить их. В данном случае a = 1 и b = 3.

f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 15

Вычислим значения функции в концах отрезка:
f(1) = 1^3 - 9(1)^2 + 24(1) - 15 = 1 - 9 + 24 - 15 = 1
f(3) = 3^3 - 9(3)^2 + 24(3) - 15 = 27 - 81 + 72 - 15 = 3

Теперь найдем значения функции в критических точках:
f(3) = 3^3 - 9(3)^2 + 24(3) - 15 = 3

Итак, наименьшее значение функции равно 1, а наибольшее значение равно 3.

3. Чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке x0, нам нужно:
a) Найти значение функции f(x0).
b) Найти значение производной функции f'(x0).
c) Записать уравнение касательной в виде y - y0 = (f'(x0))(x - x0).

В данном случае функция f(x) = 3x^2 - 4x - 2, а x0 = -1.

a) Найдем значение функции f(x0):
f(-1) = 3(-1)^2 - 4(-1) - 2 = 3 - (-4) - 2 = 3 + 4 - 2 = 5

b) Найдем значение производной функции в точке x0:
f'(x) = 6x - 4
f'(-1) = 6(-1) - 4 = -6 - 4 = -10

c) Запишем уравнение касательной в виде y - y0 = (f'(x0))(x - x0):
y - 5 = -10(x + 1)

Это и есть уравнение касательной к графику функции в точке x0 = -1.

4. Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) = 2x^2 + x и прямыми x = 0 и x = 1, мы должны взять интеграл функции на отрезке [0,1]. Площадь трапеции выражается следующим образом:

Площадь = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) - это верхняя функция (функция f(x) = 2x^2 + x), а g(x) - это нижняя функция (в данном случае это прямая x = 0).

Таким образом, площадь трапеции равна:

Площадь = ∫[0, 1] (2x^2 + x - 0) dx
= ∫[0, 1] (2x^2 + x) dx

Вычислим это интеграл:

∫[0, 1] (2x^2 + x) dx = (2/3)x^3 + (1/2)x^2 |[0, 1]
= (2/3)(1)^3 + (1/2)(1)^2 - (2/3)(0)^3 - (1/2)(0)^2
= 2/3 + 1/2 - 0 - 0
= 4/6 + 3/6
= 7/6

Итак, площадь криволинейной трапеции равна 7/6.

5. Чтобы найти значение первообразной функции при x = 2, если она принимает значение 25 при x = 1, мы можем использовать метод определения первообразной функции.

Для данной функции f(x) = 4x^3 + 2x, мы должны найти первообразную функцию F(x), такую что F'(x) = f(x).

Интегрируем функцию f(x):

F(x) = ∫(4x^3 + 2x) dx
= (4/4)x^4 + (2/2)x^2 + C
= x^4 + x^2 + C

Теперь мы знаем, что F(x) = 25 при x = 1:

25 = (1)^4 + (1)^2 + C
C = 25 - 1 - 1
C = 23

Теперь используем найденное значение C для вычисления значения первообразной при x = 2:

F(2) = (2)^4 + (2)^2 + 23
= 16 + 4 + 23
= 43 + 23
= 66

Итак, значение первообразной функции при x = 2 равно 66.