1. Начертите два неколлинеарных вектора m и n. Постройте векторы, равные: а) m + 2 n; б) 3 n – m. 2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD, O – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы x = BA и y = BC

3. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60 градусов, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

1. Начертите два неколлинеарных вектора m и n.

Для начала, нарисуем две прямые, на которых будут лежать векторы m и n. Пусть это будут прямые AB и CD.

B -----------------------------> A (прямая AB)

D------------------------------> C (прямая CD)

Теперь определим вектор m, который будет начинаться в точке A и заканчиваться в точке B. Обозначим его стрелкой над символом m:

------>
m

Далее определим вектор n, который будет начинаться в точке C и заканчиваться в точке D. Обозначим его стрелкой над символом n:

------>
n

2. Постройте векторы, равные: а) m + 2n; б) 3n - m.

а) Чтобы построить вектор m + 2n, нужно вначале построить вектор m, а затем вектор n, умноженный на 2. Затем нужно сложить эти два вектора.

Построим вектор m, начиная от точки A и заканчивая в точке B:

------>
m

Далее построим вектор n и умножим его на 2. Вектор n будет начинаться в точке C и заканчиваться в точке D:

------>
n

------>
2n

Теперь сложим вектор m и 2n. Получим вектор m + 2n:

------->
2n
------>
m + 2n

б) Чтобы построить вектор 3n - m, нужно вначале построить вектор m, а затем вектор n, умноженный на 3. Затем нужно вычесть вектор m из вектора 3n.

Построим вектор m, начиная от точки A и заканчивая в точке B:

------>
m

Далее построим вектор n и умножим его на 3. Вектор n будет начинаться в точке C и заканчиваться в точке D:

------>
3n

Теперь вычтем вектор m из вектора 3n. Получим вектор 3n - m:

------>
3n
------>
3n - m

3. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD, O – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы x = BA и y = BC.

Сначала построим квадрат ABCD:

C ------------- D
| / |
| / |
| / |
A ------------- B

Теперь обозначим точку пересечения диагоналей квадрата как O:

C ------------- D
| . |
| . |
| O |
A ------------- B

Также обозначим точку P на стороне CD так, чтобы CP = PD:

C -------P--- D
| . |
| . |
| O |
A ------------- B

Теперь выразим векторы BO, BP и PA через векторы x = BA и y = BC.

Вектор BO можно выразить суммой вектора BP и вектора PO:

------>
BP

------>
PO

------>
BO

Вектор BP можно выразить как сумму векторов BA и AP:

------>
BA

------>
AP

------>
BP

Вектор PA можно выразить как разность векторов PO и OA:

------>
PO

------>
OA

------>
PA

4. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60 градусов, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции:

- В равнобедренной трапеции противоположные боковые стороны равны.
- Средняя линия трапеции является средним геометрическим ее оснований.

Пусть основание трапеции будет AB, где AB > CD. Согласно условию задачи, угол между боковой стороной CF и основанием AB равен 60 градусов.

C ------------- D
| / |
| / |
| / |
A ------------- B

Для начала, найдем длину диагонали EF трапеции. Диагональ EF проходит через точки E и F, где E - середина стороны AB, а F - середина стороны CD.

Поскольку трапеция является равнобедренной, то она также является парами смежных боковых сторон равными. Пусть длина одной из боковых сторон равна 8 см, тогда:

CF = 8 см

Также, диагональ EF является отрезком, соединяющим середины сторон AB и CD. Поскольку EF проходит через точку F, то EF является перпендикуляром к CF. Значит, треугольник ECF - прямоугольный треугольник, а EF - гипотенуза этого треугольника.

Используя связь между сторонами прямоугольных треугольников, с учетом того, что угол при вершине C равен 60 градусов, найдем длину диагонали EF:

EC = CF/2 = 8/2 = 4 см

EF = EC/sin(60) = 4/sin(60) ≈ 4/0.866 ≈ 4.61 см

Теперь найдем среднюю линию трапеции. Для этого возьмем среднее геометрическое оснований AB и CD:

средняя линия = √(AB * CD) = √(7 * 4.61) ≈ √(32.27) ≈ 5.68 см

Таким образом, средняя линия равнобедренной трапеции примерно равна 5.68 см.