1. На одной стороне угла с вершиной E отмечены точки O и P, на другой стороне - N и M так, что EO = EN = 5 см, EP = EM = 6 см. Докажите, что:
а) PN = MO;
б) LP = LM, где L - точка пересечения отрезков PN и MO

Пошаговый ответ:

Представим треугольники EOM и ENP.

а) Так как EO = EN, а EP = EM, то вышеупомянутые треугольники EOM и ENP равны по первому признаку(угол ∡E для треугольников общий, смежные с ним стороны EP и EN соответственно равны сторонам EM и EO).

Значит стороны MO и PN равны.

б) Так как ΔEOM = ΔENP(это мы подтвердили выше), значит ∠EPN = ∠EMO. В задаче указано, что EP = EM. Значит треугольник EPM равнобедренный, и углы ∡P и ∡M равны.

Теперь, зная, что ∡P = ∡M и ∠EPN = ∠EMO, можно с уверенностью сказать, что ∠MPN = ∠PMO. Значит треугольник PML равнобедренный, значит, LP = LM.

Дано:

△EPM, EO = EN = 5 см; EP = EM = 6 см.

Доказать:

а) PN = MO

б) LP = LM, где L - точка пересечения отрезков PN и MO.

Доказательство:

ЕР = ЕМ (по условию), следовательно △EPM - равнобедренный и ∠ЕРМ = ∠ЕМР. РО = ЕР - ЕО = 6-5 = 1 см. MN = EM - EN = 6-5 = 1 см, следовательно PO = MN. У треугольников OPL и NLM общая сторона PM, то PO = MN и ∠EPM = ∠EMP, то △POM = △NPM (по двум сторонам и углу между ними), следовательно PN = MO. ∠LPM = ∠LMP, следовательно △PLM - равнобедренный, значит LP = LM. Чтд.