1. Из слова БАМБУК наугад выбирают пять букв. Какова вероятность того, что из них можно составить слово КУБ? 2. Собрание клуба филателистов (20 человек) должно выбрать председателя, его заместителя и казначея. Какова вероятность того, что при случайном выборе председателем станет либо А, либо В, заместителем председателя – либо В, либо С, а казначеем – либо А, либо С.
3. а) Восемь юношей, в том числе и двое братьев, садятся наугад с двух противоположных сторон прямоугольного стола – по четыре человека с каждой стороны. Какова вероятность того, что братья окажутся по разные стороны стола напротив друг друга?
б) Восемь юношей, в том числе и двое братьев, садятся за круглым столом. Какова вероятность того, что братья окажутся напротив друг друга?

1. Для решения этой задачи нужно посчитать количество способов выбрать 5 букв из слова "БАМБУК" и количество способов составить слово "КУБ" из этих 5 букв.

Количество способов выбрать 5 букв из слова "БАМБУК" можно посчитать по формуле сочетания: C(6, 5) = 6. Это означает, что из слова "БАМБУК" можно выбрать 5 букв 6 разными способами.

Количество способов составить слово "КУБ" из выбранных 5 букв можно посчитать следующим образом:
- Буква "К" должна быть выбрана обязательно, так как она присутствует в слове "КУБ". У нас остается 4 свободных места для выбора оставшихся 4 букв.
- Из оставшихся 5 букв (Б, М, Б, У, К) нужно выбрать 4 буквы. Для этого мы можем использовать формулу сочетания: C(5, 4) = 5.

Таким образом, количество способов составить слово "КУБ" из выбранных 5 букв равно 5.

Итак, вероятность того, что из слова "БАМБУК" можно составить слово "КУБ" равна отношению количества способов составить слово "КУБ" к количеству способов выбрать 5 букв из слова "БАМБУК":
P = 5 / 6 ≈ 0.8333

2. В данной задаче нам нужно посчитать количество способов выбрать председателя, заместителя председателя и казначея из 20 членов клуба филателистов.

- Количество способов выбрать председателя из 20 членов равно 20 (потому что каждый член клуба может быть председателем).
- Количество способов выбрать заместителя из оставшихся 19 членов равно 19.
- Количество способов выбрать казначея из оставшихся 18 членов равно 18.

Таким образом, общее количество возможных комбинаций выбора председателя, заместителя и казначея равно:
20 * 19 * 18 = 6840

Теперь нам нужно посчитать количество комбинаций, при которых председателем будет А или В, заместителем - В или С, а казначеем - А или С.

- Количество комбинаций, при которых председателем будет А или В, равно 2 (потому что есть два варианта: А или В).
- Количество комбинаций, при которых заместителем будет В или С, равно 2.
- Количество комбинаций, при которых казначеем будет А или С, равно 2.

Таким образом, общее количество комбинаций с заданными условиями равно:
2 * 2 * 2 = 8

Итак, вероятность того, что при случайном выборе председателем станет либо А, либо В, заместителем председателя – либо В, либо С, а казначеем – либо А, либо С, равна отношению количества комбинаций с заданными условиями к общему количеству возможных комбинаций:
P = 8 / 6840 ≈ 0.0012

3. а) Для решения этой задачи нужно посчитать количество способов расположить восемь юношей на прямоугольном столе с двух противоположных сторон.

- Сначала мы выбираем двух братьев, которые будут сидеть на противоположных сторонах стола. Количество способов выбрать двух братьев из восьми юношей можно посчитать по формуле сочетания: C(8, 2) = 28.
- Далее, мы должны рассадить оставшихся шесть юношей на остальные места. Количество способов расположить шесть юношей равно 6!.

Таким образом, общее количество возможных комбинаций расположения юношей на столе равно:
28 * 6! = 28 * 720 = 20160

Теперь нам нужно посчитать количество комбинаций, при которых братья окажутся по разные стороны стола напротив друг друга.

- Для этого мы должны посчитать количество комбинаций, при которых братья будут находиться на противоположных местах стороны стола. Это можно сделать следующим образом: количество способов выбрать одного брата из двух и одного из шести оставшихся юношей умножается на количество перестановок шести оставшихся юношей. Таким образом, количество комбинаций равно: 2 * 6!.

Теперь нужно учесть, что выбор братьев можно сделать в любой комбинации: сначала выбрать одного брата, а потом другого, или наоборот. Таким образом, общее количество комбинаций равно:
2 * 2 * 6! = 2 * 2 * 720 = 2880

Итак, вероятность того, что братья окажутся по разные стороны стола напротив друг друга, равна отношению количества комбинаций, при которых братья окажутся по разные стороны стола, к общему количеству возможных комбинаций:
P = 2880 / 20160 ≈ 0.1429

б) Для решения этой задачи нужно посчитать количество способов расположить восемь юношей за круглым столом.

- Мы выбираем одного брата, который будет сидеть напротив другого брата. Количество способов выбрать одного брата из двух равно 2.
- Затем, мы должны рассадить остальных шесть юношей на оставшиеся места. Количество способов расположить шесть юношей равно 6!.

Таким образом, общее количество возможных комбинаций расположения юношей за круглым столом равно:
2 * 6! = 2 * 720 = 1440

Итак, вероятность того, что братья окажутся напротив друг друга, равна отношению количества комбинаций, при которых братья окажутся напротив друг друга, к общему количеству возможных комбинаций:
P = 1440 / 20160 ≈ 0.0714