1. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько этот многогранник имеет вершин и граней, если число ребер равно 12?
Три ребра выходит из каждой вершины, число рёбер = 12.
Этот многоугольник имеет 12/3 = 4 вершины. А сколько тогда граней и верно ли я думаю вообще?
3. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна бОльшей диагонали основания. Под каким углом пересекаются диагонали боковой грани этой призмы?
4. В правильной треугольной призме проведена плоскость через сторону основания и середину противоположного бокового ребра. Вычислить площадь сечения, если сторона основания призмы равна 8 см, а высота призмы равна 14 см.

Дошёл до этого, дальше не знаю как.

5.Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник, диагонали боковых граней призмы – 8 см, 14 см, 16 см. Найдите высоту призмы.
AB=BC=CA=8 см
AK=14 см
AV=VK
ΔCVB — равнобедренный, CV=VB,
т.к. проекции этих наклонных равны CA=AB.
S(CVB)=ah/2=CB⋅VN/2

Буду очень признателен!

1. Чтобы найти сколько вершин и граней имеет многогранник, если число рёбер равно 12, нужно учесть, что из каждой вершины многогранника выходит три ребра. Поскольку общее число ребер равно 12, мы можем поделить его на количество ребер, выходящих из каждой вершины, то есть на 3. Таким образом, количество вершин будет равно 12/3 = 4.

Теперь остаётся выяснить количество граней. Чтобы сделать это, можно воспользоваться формулой Эйлера для выпуклых многогранников: F + V = E + 2, где F - количество граней, V - количество вершин и E - количество ребер.

У нас уже есть количество вершин (V = 4) и ребер (E = 12), поэтому можно записать уравнение: F + 4 = 12 + 2. Решив его, получим F = 10. Значит, данный многогранник имеет 10 граней.

2. Для решения этого вопроса необходимо воспользоваться свойствами призмы. Поскольку боковая грань является правильным шестиугольником, у него все стороны и углы равны между собой.

По условию диагональ боковой грани больше, чем диагональ основания. Это означает, что внутри боковой грани у нас есть две диагонали - меньшая (диагональ основания) и большая (диагональ боковой грани). Нам нужно выяснить под каким углом они пересекаются.

Поскольку грань шестиугольная, она разбивается на 6 равных равнобедренных треугольников. Диагонали этих треугольников - это отрезки, соединяющие вершины шестиугольника. Между собой эти отрезки пересекаются под определенным углом, назовем его α.

Так как грань шестиугольная и все её стороны и углы равны, во всех треугольниках боковой грани α будет таким же.

Ответ: Диагонали боковой грани этой призмы пересекаются под углом α.

3. Для решения этого вопроса нужно знать, как выглядит сечение правильной треугольной призмы плоскостью, которая проходит через сторону основания и середину противоположного бокового ребра.

Сечение будет прямоугольником, так как плоскость проходит через сторону основания. Более конкретно, это будет прямоугольник, у которого одна из сторон равна стороне основания (8 см), а другая сторона равна высоте призмы (14 см).

Для вычисления площади сечения нужно перемножить длину строны основания на длину стороны, которая соответствует высоте призмы.

Площадь сечения = 8 см * 14 см = 112 см².

Ответ: Площадь сечения равна 112 см².

4. Для нахождения высоты прямой призмы с данными диагоналями нужно воспользоваться свойством равнобедренного треугольника.

Имеем прямоугольный треугольник (AB - основание) со сторонами AB = 8 см, BC = 14 см и AC = 16 см.

Выберем сторону AB (8 см) в качестве основания и проведем высоту AH из вершины A (перпендикулярно основанию). Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABH.

Так как треугольник ABH прямоугольный, применим теорему Пифагора, где AB - гипотенуза, а BH и AH - катеты:

AB² = BH² + AH².

AB = 16 см (гипотенуза).

Подставляя значения, получаем:

16² = BH² + AH².

256 = BH² + AH².

Так как треугольник прямоугольный, мы знаем, что высота (AH) и основание (AB) являются катетами. Поэтому BH = AH.

256 = BH² + BH².

256 = 2BH².

BH² = 256 / 2.

BH² = 128.

BH = √128.

BH ≈ 11,3 см.

Ответ: Высота призмы составляет приблизительно 11,3 см.

Если у вас остались вопросы, пожалуйста, спрашивайте!