1.исследуйте функцию с производной и постройте ее график y=x^3-6x^2-15x-2

2.найдите наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке
y=x^3-3,5x^2+4x-23 [-3; 3]

Хорошо, давайте разберем по порядку.

1. Для начала нам нужно исследовать функцию с производной. Для этого нам потребуется найти производную функции.

Исходная функция: y = x^3 - 6x^2 - 15x - 2

Чтобы найти производную этой функции, нам нужно применить правило дифференцирования для каждого слагаемого. Помните, что производная функции f(x) выражается так: f'(x).

Давайте найдем производную:

y' = (x^3)' - (6x^2)' - (15x)' - (2)'.

Применяем правило дифференцирования: степень уменьшается на 1, и затем коэффициент умножается на степень.

y' = 3x^2 - 12x - 15.

Теперь у нас есть производная функции.

Далее, для исследования функции с производной, мы должны найти корни производной, точки экстремума (минимумы и максимумы), анализировать поведение функции на интервалах между корнями и в окрестности этих корней.

Давайте найдем корни производной:

0 = 3x^2 - 12x - 15.

Мы можем решить это уравнение, факторизуя его или используя квадратное уравнение. В данном случае использование квадратного уравнения является более удобным методом. Формула для решения квадратного уравнения -x=b±√(b^2-4ac)/2a.

Приведем уравнение к виду: 3x^2 - 12x - 15 = 0, где a = 3, b = -12 и c = -15.

Теперь мы можем использовать формулу:

x = (-(-12) ± √((-12)^2 - 4 * 3 * -15)) / (2 * 3).

Выполняем необходимые расчеты:

x = (12 ± √(144 + 180)) / 6.

x = (12 ± √324) / 6.

x = (12 ± 18) / 6.

Это дает нам два корня:

x1 = (12 + 18) / 6 = 30 / 6 = 5.
x2 = (12 - 18) / 6 = -6 / 6 = -1.

Таким образом, корни производной равны x1 = 5 и x2 = -1.

Далее, давайте проанализируем поведение функции на интервалах между этими корнями и в окрестности этих корней.

1. Когда x < -1 (меньше, чем -1):
- Производная положительна (y' > 0).
- Функция возрастает на этом интервале.
- Нет экстремумов.
- График функции идет вверх.

2. Когда -1 < x < 5 (между -1 и 5):
- Производная отрицательна (y' < 0).
- Функция убывает на этом интервале.
- Есть максимум в точке x = -1.
- График функции идет вниз до точки максимума и затем снова вверх.

3. Когда x > 5 (больше, чем 5):
- Производная положительна (y' > 0).
- Функция возрастает на этом интервале.
- Нет экстремумов.
- График функции идет вверх.

Таким образом, мы проанализировали поведение функции на различных интервалах и в окрестности корней производной.

Теперь давайте построим график функции y = x^3 - 6x^2 - 15x - 2 для более наглядного понимания.

[Вставить график функции на основе значений x и y].

2. Теперь давайте найдем наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке y = x^3 - 3.5x^2 + 4x - 23 [-3; 3].

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции, мы должны найти экстремумы функции на заданном отрезке.

Давайте найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума:

y' = (x^3 - 3.5x^2 + 4x - 23)'.

y' = 3x^2 - 7x + 4.

Приравняем производную к нулю:

0 = 3x^2 - 7x + 4.

Это квадратное уравнение, и мы можем найти его решение, используя формулу -x=b±√(b^2-4ac)/2a.

Приведем уравнение к виду: 3x^2 - 7x + 4 = 0, где a = 3, b = -7 и c = 4.

Применяем формулу:

x = (-(-7) ± √((-7)^2 - 4 * 3 * 4)) / (2 * 3).

Выполняем необходимые расчеты:

x = (7 ± √(49 - 48)) / 6.

x = (7 ± √1) / 6.

Это дает нам два корня:

x1 = (7 + 1) / 6 = 8 / 6 = 4/3 = 1.33 (округляем до 2 знаков после запятой).
x2 = (7 - 1) / 6 = 6 / 6 = 1.

Таким образом, корни производной равны x1 = 1.33 и x2 = 1.

Теперь мы можем проверить значения функции на краях отрезка и в найденных точках экстремумов, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции.

Вычислим значения функции на заданных точках:
- Подставим x = -3:
y = (-3)^3 - 3.5(-3)^2 + 4(-3) - 23
= -27 - 3.5(9) - 12 - 23
= -27 - 31.5 - 12 - 23
= -93.5.
- Подставим x = -1.33:
y = (-1.33)^3 - 3.5(-1.33)^2 + 4(-1.33) - 23
≈ -4.65.
- Подставим x = 1:
y = (1)^3 - 3.5(1)^2 + 4(1) - 23
= 1 - 3.5 + 4 - 23
= -21.5.
- Подставим x = 1.33:
y = (1.33)^3 - 3.5(1.33)^2 + 4(1.33) - 23
≈ -27.15.
- Подставим x = 3:
y = (3)^3 - 3.5(3)^2 + 4(3) - 23
= 27 - 3.5(9) + 12 - 23
= 27 - 31.5 + 12 - 23
= -15.5.

Таким образом, наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке y = x^3 - 3.5x^2 + 4x - 23 [-3; 3] составляют:
- Наименьшее значение: -93.5.
- Наибольшее значение: -15.5.