1)докажите, что функция y = x^4 - 1/5 cos^5x + 2 является первообразной для функции y = 4x^3 + sinxcos^4x 2)для функции y = 15/5x-9 + 2/x² найдите ту первообразную график которой проходит через точку a (2; -7)

1) производная первообразной функции = исходной функции
найдем производную первообразной, и если она совпадет с данной функцией, то 1-ая функция - первообразная для 2-ой



производная 1-ой функции = 2-ой функции ==> 1-ая функция - первообразная

2) 
для данной функции найдем первообразную через интегрирование


чтобы найти С, подставим точку А в функцию




Окончательная первообразная:

1) Для доказательства того, что функция y = x^4 - (1/5) cos^5x + 2 является первообразной для функции y = 4x^3 + sinx*cos^4x, мы должны проверить, что производная функции y равна функции f.

Для начала, найдем производную функции y:
y' = d/dx(x^4 - (1/5) cos^5x + 2)
y' = 4x^3 + (d/dx(-1/5) cos^5x) + (d/dx(2))
y' = 4x^3 - (1/5)(d/dx(cos^5x))
Для нахождения производной cos^5x воспользуемся цепным правилом дифференцирования:
(d/dx(cos^5x)) = (d/d(cos^5x))(d/dx(cosx))
(d/d(cos^5x)) = (-5sinxcos^4x)
(d/dx(cosx)) = -sinx

Подставим найденные значения обратно в исходную функцию y':
y' = 4x^3 - (1/5)(-5sinxcos^4x)(-sinx)
y' = 4x^3 + sinx*cos^4x

Мы видим, что производная функции y совпадает с функцией, которая является производной функции y. Таким образом, функция y = x^4 - (1/5) cos^5x + 2 является первообразной для функции y = 4x^3 + sinx*cos^4x.

2) Для нахождения первообразной функции y = (15/5)x^-9 + 2/x^2, проходящей через точку a(2,-7), мы должны найти антипроизводную этой функции.

Поскольку первообразная функции f(x) + g(x) равна сумме первообразных f(x) и g(x), мы будем находить первообразные каждой отдельной части данной функции, а затем сложим их.

Найдем первообразную для каждой части:
1) Первообразная для (15/5)x^-9:
Интегрируем эту функцию, используя правило степенного интеграла:
∫(15/5)x^-9 dx = (15/5) * (x^(-9+1)) / (-9+1+1)
∫(15/5)x^-9 dx = (15/5) * (x^-8) / (-8)
∫(15/5)x^-9 dx = -3x^-8 / 8

2) Первообразная для 2/x^2:
Интегрируем эту функцию, используя правило степенного интеграла:
∫2/x^2 dx = 2 * (x^(-2-1)) / (-2-1)
∫2/x^2 dx = 2 * (x^-3) / (-3)
∫2/x^2 dx = -2/3x^3

Теперь мы можем найти полную первообразную для заданной функции, сложив первообразные для каждой части функции:
∫[(15/5)x^-9 + 2/x^2] dx = -3x^-8 / 8 - 2/3x^3

Чтобы найти конкретную первообразную, проходящую через точку a(2,-7), мы должны подставить значения x и y в выражение и решить уравнение:

-7 = -3(2)^-8 / 8 - 2/3(2)^3
-7 = -3/256 / 8 - 2/24
-7 = -3/2048 - 128/2048
-7 = -131/2048
7*2048 = 131
14336 = 131 (неверно)

Наше уравнение не является верным. Следовательно, нет первообразной функции, которая проходит через точку a(2,-7). Возможно, данная точка была неправильно задана или данная функция имеет другую первообразную, которая проходит через эту точку.