1) докажите, что функция f(x) есть первообразная для функции f(x), если :
а) f(x) =x^4/4-5x^3/3 +4x+3 и f(x) =x^3-5x^2+4
б) f(x) =1/x+3x+cosx-11x и f(x) =-1/2x^2+3-sinx
2) найдите первообразную для функции f(x) :
а) f(x) =sinx-cos2x+3^x
б) f(x) =x^4/5 -√x-1/x(x> 0)
3)найдите ту первообразную для функции f(x), график которой проходит через точку а, если :
а) f(x) =3x^2, a(2; 33)
б)f(x) =√2cosx, a(п/4; 3)
​

Добрый день! 1) Начнем с а) а) Нам дано, что f(x) = x^4/4 - 5x^3/3 + 4x + 3 и f(x) = x^3 - 5x^2 + 4. Для того чтобы доказать, что f(x) является первообразной для функции f(x), мы должны найти производную от f(x) и показать, что она равна исходной функции f(x). Найдем производную для f(x): f'(x) = (x^4/4 - 5x^3/3 + 4x + 3)' = (x^4/4)' - (5x^3/3)' + (4x)' + (3)' = (4x^3/4) - (15x^2/3) + 4 + 0 = x^3 - 5x^2 + 4 Теперь мы видим, что f'(x) = f(x), что означает, что f(x) является первообразной для функции f(x). Продолжим с б) б) Нам дано, что f(x) = 1/x + 3x + cos(x) - 11x и f(x) = -1/2x^2 + 3 - sin(x). Аналогично предыдущей задаче, мы должны найти производную от f(x) и показать, что она равна исходной функции f(x). Найдем производную для f(x): f'(x) = (1/x + 3x + cos(x) - 11x)' = (1/x)' + (3x)' + (cos(x))' - (11x)' = -1/x^2 + 3 + (-sin(x)) - 11 = -1/x^2 + 3 - sin(x) - 11 = -1/x^2 + 3 - sin(x) - 11 Теперь мы видим, что f'(x) = f(x), что означает, что f(x) является первообразной для функции f(x). 2) Перейдем ко второй части задачи: а) Нам дано, что f(x) = sin(x) - cos(2x) + 3^x. Чтобы найти первообразную для этой функции, мы должны найти функцию F(x), производная от которой равна заданной функции f(x). Найдем первообразную для f(x): F(x) = -cos(x) - 1/2 * (cos(2x))' + (3^x)' = -cos(x) - 1/2 * (-2sin(2x)) + (ln(3)*3^x) = -cos(x) + sin(2x)/2 + ln(3)*3^x б) В задаче дано, что f(x) = x^4/5 - √x - 1/x (x > 0). Аналогично, мы должны найти первообразную функцию F(x), производная от которой будет равна f(x). Найдем первообразную для f(x): F(x) = (x^4/5)' - (√x)' - (1/x)' = 4/5 * x^(4/5 - 1) - (1/2) * x^(-1/2) - (-1/x^2) = 4/5 * x^(1/5) - 1/2 * √(x) + 1/x 3) Перейдем к третьей части задачи: а) Нам дано, что f(x) = 3x^2 и точка А(2; 33). Чтобы найти первообразную для этой функции, мы должны найти функцию F(x), производная от которой равна заданной функции f(x), и проходящую через точку A. Найдем первообразную для f(x): F(x) = x^3 + C Теперь найдем константу C, подставив координаты точки A в нашу первообразную: 33 = (2)^3 + C C = 33 - 8 C = 25 Таким образом, первообразная для функции f(x) = 3x^2, проходящая через точку A(2; 33), будет F(x) = x^3 + 25. б) В задаче дано, что f(x) = √2cos(x) и точка A(п/4; 3). Аналогично, мы должны найти первообразную функцию F(x), производная от которой будет равна f(x), и проходящую через точку A. Найдем первообразную для f(x): F(x) = √2 * sin(x) + C Теперь найдем константу C, подставив координаты точки A в нашу первообразную: 3 = √2 * sin(п/4) + C 3 = √2 * (1/√2) + C 3 = 1 + C C = 3 - 1 C = 2 Таким образом, первообразная для функции f(x) = √2cos(x), проходящая через точку A(п/4; 3), будет F(x) = √2 * sin(x) + 2. Это детальное решение должно быть понятно школьнику. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!