1 Даны вершины пирамиды ABCD: А(3; 5; 4), В(5; 8; 3), С(1; 9; 9), D(6; 4; 8).
1.1 Найдите: а) объем пирамиды АВСD; б) площадь треугольника ; в) длину высоты, опущенной из вершины D на плоскость грани АВС; г) угол между ребром AD и медианой треугольника АВС, проведенной из вершины А; д) .
1.2 Составьте: а) уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно ребру АВ;
б) уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС; в) уравнение ребра AD; уравнение высоты, опущенной из D на плоскость грани АВС.
2 Запишите каноническое уравнение прямой:

Прежде чем перейти к решению задачи, введем некоторые обозначения для удобства:

A(3; 5; 4), B(5; 8; 3), C(1; 9; 9), D(6; 4; 8).

Пункт 1.1:

а) Чтобы найти объем пирамиды ABCD, мы должны найти высоту этой пирамиды и площадь основания. Для этого рассмотрим векторы AB, AC и AD. Основание пирамиды ABCD - треугольник ABC.

1. Вектор AB = B - A = (5 - 3; 8 - 5; 3 - 4) = (2; 3; -1).
2. Вектор AC = C - A = (1 - 3; 9 - 5; 9 - 4) = (-2; 4; 5).
3. Вектор AD = D - A = (6 - 3; 4 - 5; 8 - 4) = (3; -1; 4).

Теперь найдем площадь треугольника ABC с помощью векторного произведения векторов AB и AC:

AB x AC = (2; 3; -1) x (-2; 4; 5) = (-7; -12; 14).

Модуль этого вектора равен |AB x AC| = √((-7)^2 + (-12)^2 + 14^2) = √(49 + 144 + 196) = √389 ≈ 19.72.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 19.72 квадратных единиц.

Теперь найдем высоту пирамиды, то есть длину отрезка, опущенного из вершины D на плоскость грани ABC:

4. Вычислим уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C. Для этого используем формулу уравнения плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0.

Где коэффициенты A, B, C и D находим из следующей системы уравнений:

A * 3 + B * 5 + C * 4 + D = 0,
A * 5 + B * 8 + C * 3 + D = 0,
A * 1 + B * 9 + C * 9 + D = 0.

Решая данную систему уравнений, получаем A = -133, B = 58, C = 39, D = 418. Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C, имеет вид:

-133x + 58y + 39z + 418 = 0.

5. Вычислим расстояние от точки D до плоскости ABC, используя формулу:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A^2 + B^2 + C^2),

где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки D. Подставляем координаты точки D и коэффициенты A, B, C и D в формулу:

d = |-133 * 6 + 58 * 4 + 39 * 8 + 418| / √((-133)^2 + 58^2 + 39^2) ≈ 18.66.

Таким образом, длина высоты, опущенной из вершины D на плоскость грани ABC, примерно равна 18.66 единиц.

6. Для нахождения угла между ребром AD и медианой треугольника ABC, проведенной из вершины A, найдем вектора AD и AM, где M - середина ребра BC.

AM = (AB + AC) / 2 = ((2; 3; -1) + (-2; 4; 5)) / 2 = (0; 7; 4) / 2 = (0; 3.5; 2).

Теперь найдем скалярное произведение векторов AD и AM:

AD · AM = 3 * 0 + (-1) * 3.5 + 4 * 2 = 0 + (-3.5) + 8 = 4.5.

Найдем длины векторов AD и AM:

|AD| = √(3^2 + (-1)^2 + 4^2) = √(9 + 1 + 16) = √26 ≈ 5.10,
|AM| = √(0^2 + 3.5^2 + 2^2) = √(0 + 12.25 + 4) = √16.25 ≈ 4.03.

Теперь найдем косинус угла между векторами AD и AM по формуле:

cosθ = (AD · AM) / (|AD| * |AM|).

cosθ = 4.5 / (5.10 * 4.03) ≈ 0.220.

Для нахождения самого угла θ, возьмем обратный косинус полученного значения:

θ ≈ arccos(0.220) ≈ 78.21 градусов.

Таким образом, угол между ребром AD и медианой треугольника ABC, проведенной из вершины A, примерно равен 78.21 градусов.

1.2:

а) Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно ребру AB. Для этого воспользуемся векторным произведением векторов AB и нормали к плоскости. Вектор AB мы уже вычислили: AB = (2; 3; -1). Чтобы найти нормаль к плоскости, нужно найти еще один вектор, лежащий в плоскости и перпендикулярный AB. Пусть C - произвольная точка плоскости. Возьмем ее координаты, например, C(1; 2; 3). Тогда вектор AC = C - A = (1 - 3; 2 - 5; 3 - 4) = (-2; -3; -1). Нормаль к плоскости будет равна векторному произведению этих векторов: N = AB x AC = (2; 3; -1) x (-2; -3; -1) = (2; 4; -2).

Теперь уравнение плоскости имеет вид:

2x + 4y - 2z + D = 0.

Для нахождения значения D подставим координаты точки A:

2 * 3 + 4 * 5 - 2 * 4 + D = 0,
6 + 20 - 8 + D = 0,
D = -18.

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно ребру AB, будет:

2x + 4y - 2z - 18 = 0.

б) Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости ABC. Мы уже знаем уравнение плоскости ABC: -133x + 58y + 39z + 418 = 0. Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точку D, параллельной плоскости ABC, будем использовать то же самое уравнение плоскости, но заменим D на другое значение. Подставляем координаты точки D:

-133 * 6 + 58 * 4 + 39 * 8 + D = 0,
-798 + 232 + 312 + D = 0,
D = 254.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости ABC, будет:

-133x + 58y + 39z + 254 = 0.

в) Уравнение ребра AD можно найти, используя формулу прямой в пространстве:

(x - x₀) / (x₁ - x₀) = (y - y₀) / (y₁ - y₀) = (z - z₀) / (z₁ - z₀),

где (x₀, y₀, z₀) и (x₁, y₁, z₁) - координаты двух точек, лежащих на прямой.

Для нахождения уравнения ребра AD возьмем точки A(3; 5; 4) и D(6; 4; 8):

(x - 3) / (6 - 3) = (y - 5) / (4 - 5) = (z - 4) / (8 - 4).

(x - 3) / 3 = (y - 5) / (-1) = (z - 4) / 4.

Уравнение ребра AD, записанное в параметрической форме, будет:

x = 3 + 3t,
y = 5 - t,
z = 4 + 4t.

где t - параметр.

уравнение высоты, опущенной из D на плоскость грани ABC можно получить учитывая перпендикулярность высоты и плоскости ABC и зная, что одна из точек прямой - D. Используем параметрическое уравнение прямой AD, полученное в пункте 1.2 в):

x = 3 + 3t,
y = 5 - t,
z = 4 + 4t.

Выразим t из уравнения y = 5 - t:

t = 5 - y.

Подставляем полученное выражение для t в выражения для x и z:

x = 3 + 3(5 - y) = 18 - 3y,
z = 4 + 4(5 - y) = 24 - 4y.

Таким образом, уравнение высоты, опущенной из D на плоскость грани ABC, будет:

x = 18 - 3y,
y - y = 0,
z = 24 - 4y.

2. Каноническое уравнение прямой задается следующим образом:

(x - x₀) / a = (y - y₀) / b = (z - z₀) / c,

где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки, через которую проходит прямая, а a, b и c - коэффициенты пропорциональности.

Нам даны две точки, через которые проходит прямая, A(3; 5; 4) и D(6; 4; 8). Рассмотрим координаты этих точек и найдем соответствующие коэффициенты пропорциональности:

a = 6 - 3 = 3,
b = 4 - 5 = -1,
c = 8 - 4 = 4.

Таким образом, каноническое уравнение прямой будет:

(x - 3) / 3 = (y - 5) / (-1) = (z - 4) / 4.