1.Даны два вектора a и b. При этом |a|=4, |b|=6. Угол между векторами равен п/3. Вектора c и d соответственно равны c=a-2b, d=2a+b. (в формулах вектора) Найти: косинус угла между векторами с и d; площадь параллелограмма, построенного на векторах c и d. 2.Вершины треугольника АВС имеют координаты А(1;3;2), В(3;5;1), С(2;7;2). Найти: косинус угла при вершине А; площадь треугольника.
3.Найти точку пересечения прямой, проходящей через точки А(1;3;5) и В(2;1;6) с плоскостью XOY.
4.Найти точку пересечения плоскости, проходящей через точки А(1;3;2), В(3;5;1), С(2;7;2) с осью OX.
5. Найти расстояние от точки D(5;2;7) до плоскости, проходящей через точки А(1;3;2), В(3;5;1), С(2;7;2).

(Кому не жалко времени с подробным решением.)

1. Даны два вектора a и b. При этом |a|=4, |b|=6. Угол между векторами равен п/3. Вектора c и d соответственно равны c=a-2b, d=2a+b. Найдем косинус угла между векторами c и d.

- Для начала найдем значения векторов c и d:
c = a - 2b
= 4a - 2b
= 4(a - 0.5b)

d = 2a + b

- Теперь найдем косинус угла между векторами c и d с использованием формулы:

cos(θ) = (c ∙ d) / (|c| ∙ |d|)

- Подставим значения векторов c и d в формулу:

cos(θ) = ((4(a - 0.5b)) ∙ (2a + b)) / (|4(a - 0.5b)| ∙ |2a + b|)

- Раскроем скобки:

cos(θ) = (8(a ∙ a) + 4(a ∙ b) - 4(b ∙ a) - 2(b ∙ b)) / (|4(a - 0.5b)| ∙ |2a + b|)

- Заменим значения |a| и |b| в формуле:

cos(θ) = (8(4^2) + 4(4)(6) - 4(6)(4) - 2(6^2)) / (|4(4 - 0.5(6))| ∙ |2(4) + 6|)

- Вычислим числитель:

cos(θ) = (8(16) + 4(4)(6) - 4(6)(4) - 2(36)) / (|4(4 - 0.5(6))| ∙ |2(4) + 6|)
= (128 + 96 - 96 - 72) / (|4(4 - 3)| ∙ |8 + 6|)
= 56 / (|4(1)| ∙ |14|)
= 56 / (4 ∙ 14)
= 56 / 56
= 1

- Таким образом, косинус угла между векторами c и d равен 1.

2. Вершины треугольника АВС имеют координаты А(1;3;2), В(3;5;1), С(2;7;2). Найдем косинус угла при вершине А и площадь треугольника.

- Найдем векторы AB и AC:

AB = В - А
= (3;5;1) - (1;3;2)
= (2;2;-1)

AC = C - А
= (2;7;2) - (1;3;2)
= (1;4;0)

- Найдем скалярное произведение векторов AB и AC:

AB ∙ AC = (2)(1) + (2)(4) + (-1)(0)
= 2 + 8 + 0
= 10

- Найдем модули векторов AB и AC:

|AB| = √((2)^2 + (2)^2 + (-1)^2)
= √(4 + 4 + 1)
= √(9)
= 3

|AC| = √((1)^2 + (4)^2 + (0)^2)
= √(1 + 16 + 0)
= √(17) ≈ 4.12

- Теперь найдем косинус угла при вершине А с использованием формулы:

cos(θ) = (AB ∙ AC) / (|AB| ∙ |AC|)

- Подставим значения в формулу:

cos(θ) = 10 / (3 ∙ 4.12)
= 10 / 12.36
≈ 0.81

- Таким образом, косинус угла при вершине А примерно равен 0.81.

- Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу:

S = 0.5 ∙ |AB| ∙ |AC| ∙ sin(θ)

- Подставим значения в формулу:

S = 0.5 ∙ 3 ∙ 4.12 ∙ sin(arccos(0.81))
≈ 0.5 ∙ 3 ∙ 4.12 ∙ 0.59
≈ 3.54

- Таким образом, площадь треугольника примерно равна 3.54.

3. Найдем точку пересечения прямой, проходящей через точки А(1;3;5) и В(2;1;6), с плоскостью XOY.

- Плоскость XOY представлена уравнением z = 0.

- Уравнение прямой задается параметрически:

x = (1 + (t)(2 - 1))
y = (3 + (t)(1 - 3))
z = (5 + (t)(6 - 5))

- Подставим значение z = 0 в уравнение прямой:

0 = (5 + (t)(6 - 5))
0 = 5 + (t)(1)
(t)(1) = -5
t = -5

- Подставим найденное значение t в параметрическое уравнение прямой:

x = 1 + (-5)(2 - 1)
= 1 - 5
= -4

y = 3 + (-5)(1 - 3)
= 3 + 10
= 13

z = 5 + (-5)(6 - 5)
= 5 - 5
= 0

- Таким образом, точка пересечения прямой с плоскостью XOY равна (-4; 13; 0).

4. Найдем точку пересечения плоскости, проходящей через точки А(1;3;2), В(3;5;1), С(2;7;2), с осью OX.

- Плоскость проходит через три точки, поэтому можно использовать их координаты для нахождения уравнения плоскости.

- Уравнение плоскости в трехмерной системе координат представляется в виде:

Ax + By + Cz + D = 0

- Подставим координаты точек А, В и С в уравнение плоскости:

1A + 3B + 2C + D = 0 --(1)
3A + 5B + 1C + D = 0 --(2)
2A + 7B + 2C + D = 0 --(3)

- Решим полученную систему уравнений методом Гаусса:

(1) - (3): -A - 4B = 0 --(4)
(2) - (3): A - 2B = 0 --(5)

(4) + (5): -6B = 0
B = 0

Подставим B = 0 в уравнение (5):

A - 2(0) = 0
A = 0

Теперь найдем C с использованием уравнения (1):

(1A) + 3(0) + 2C + D = 0
A + 2C + D = 0
0 + 2C + D = 0
2C + D = 0

Выберем C = 1, чтобы D был равен 0:

2(1) + D = 0
2 + D = 0
D = -2

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;3;2), В(3;5;1), С(2;7;2) можно записать как:

0x + 0y + 1z - 2 = 0
z - 2 = 0
z = 2

- Таким образом, точка пересечения плоскости с осью OX равна (0; 0; 2).

5. Найдем расстояние от точки D(5;2;7) до плоскости, проходящей через точки А(1;3;2), В(3;5;1), С(2;7;2).

- Расстояние от точки до плоскости может быть найдено с использованием формулы:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)

- Запишем уравнение плоскости:

0x + 0y + 1z - 2 = 0
z - 2 = 0
z = 2

- Подставим координаты точки D в уравнение плоскости:

0(5) + 0(2) + 1(7) - 2
0 + 0 + 7 - 2
5

- Значения A, B, C и D равны 0, поэтому формулу можно упростить:

d = |7 - 2| / √(0^2 + 0^2 + 1^2)
= 5 / √1
= 5

- Таким образом, расстояние от точки D(5;2;7) до плоскости, проходящей через точки А(1;3;2), В(3;5;1), С(2;7;2), равно 5.