1. Что можно утверждать о призме, все боковые грани которой – квадраты?
2. Докажите, что не существует многогранника, у которого ровно 7 ребер.
3. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник, диагонали боковых граней призмы 8 см, 14 см, 16 см. Найдите высоту призмы. ( Пусть катеты равны а, b, гипотенуза равна с, высота h. Используя теорему Пифагора, составьте систему уравнений. Не забудьте, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.)
4. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна а и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь поверхности призмы

1. Призма, все боковые грани которой являются квадратами, называется кубом. В кубе все грани равны друг другу и все углы равны 90 градусов. Также, у куба равны все диагонали боковых граней.

2. Чтобы доказать, что не существует многогранника с ровно 7 ребрами, нужно воспользоваться формулой Эйлера для многогранников. Формула Эйлера гласит: F + V - E = 2, где F - количество граней, V - количество вершин, E - количество ребер. Для многогранника с 7 ребрами мы имеем F - V + 7 = 2. Так как количество граней и вершин должны быть больше либо равными нулю, но ребер всегда больше либо равно 3, данное уравнение не имеет решений.

3. Для нахождения высоты призмы воспользуемся теоремой Пифагора. Имеется прямоугольный треугольник со сторонами 8, 14 и 16. Для него выполняется теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Итак, у нас есть следующая система уравнений: a^2 + b^2 = c^2 и h^2 = c^2 - b^2. Подставляем значения a = 8, b = 14, c = 16 в первое уравнение: 8^2 + 14^2 = 16^2. Получаем 64 + 196 = 256. Сокращаем: 260 = 256. Очевидно, это неверно. Значит, такой прямоугольный треугольник не существует, и высоту призмы найти невозможно.

4. Для нахождения площади поверхности призмы сначала найдем длину бокового ребра и высоту призмы. У нас дана диагональ а, образующая с плоскостью основания угол 30 градусов. Из треугольника, образованного диагональю и боковым ребром, мы можем найти длину бокового ребра, используя тригонометрические соотношения. Таким образом, длина бокового ребра равна a * sin(30°). Зная длину бокового ребра, мы можем найти высоту призмы, которая также равна a * sin(30°). Площадь поверхности призмы вычисляется следующим образом: S = 2 * (площадь основания) + (площадь боковой поверхности). Для правильной четырехугольной призмы площадь основания равна (сторона основания)^2, а площадь боковой поверхности равна (периметр основания) * (высота призмы). Таким образом, S = 2 * (a^2) + 4 * a * (a * sin(30°)). Вычисляем значения и получаем ответ.