1) 4tg(arctg1/3)-3tg(arctg(-1/5))
Выберите один ответ:
1. π/3
2. π
3. 0
4. 2

2) 2 sin^2(x) -3 sin x- 2 =0
Выберите один ответ:
1. x=(-1)^(n+1) π/6+πn, n ϵ Z
2. x=±π/6+2πn,n ϵ Z
3. x=±π/6+πn,n ϵ Z
4. x=(-1)^n π/6+πn,n ϵ Z

3) tg x -3 tg x = 2
Выберите один ответ:
1. x=arctg 3+πn,n ϵ Z
2. x=arctg 3+2πn,n ϵ Z
3. x=-arctg 3+2πn,n ϵ Z
4. x=-arctg 3+πn,n ϵ Z

1) Давайте разберем первый вопрос.

У нас дано выражение 4tg(arctg1/3)-3tg(arctg(-1/5)).

Для удобства, заменим arctg1/3 на угол α и arctg(-1/5) на угол β.

Тогда наше выражение преобразуется следующим образом: 4tgα-3tgβ.

Мы знаем, что tg(x) = sin(x)/cos(x).

Таким образом, перепишем наше выражение, подставив эти значения:

4(sin(α)/cos(α)) - 3(sin(β)/cos(β)).

Мы также знаем, что tg(x) = sin(x)/cos(x), а cos(x) не равен нулю, поэтому можем записать следующее:

4(sin(α)/cos(α)) - 3(sin(β)/cos(β)) = (4sinα - 3sinβ) / (cosα - cosβ).

Теперь нам необходимо найти α и β.

Для этого воспользуемся соотношениями sin(arctg(x)) = x/√(1+x^2) и cos(arctg(x)) = 1/√(1+x^2).

Для α = arctg(1/3) получаем: sin(α) = 1/3√(1+(1/3)^2) = 1/√10 и cos(α) = 1/√(1+(1/3)^2) = 3/√10.

Для β = arctg(-1/5) получаем: sin(β) = -1/5√(1+(-1/5)^2) = -1/√26 и cos(β) = 1/√(1+(-1/5)^2) = 5/√26.

Подставим значения sin(α), cos(α), sin(β) и cos(β) в наше выражение и сократим дробь:

(4sinα - 3sinβ) / (cosα - cosβ) = (4(1/√10) - 3(-1/√26)) / (3/√10 - 5/√26).

Приведем числители к общему знаменателю:

= (4√26 - 9√10) / (3√10 - 5√26).

Теперь видим, что числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель sqrt(10).

Вынесем его за скобку:

= (√10(4√2 - 9)) / (√10(3 - 5√(26/10))).

Теперь сократим общие множители и получим:

= (4√2 - 9) / (3 - 5√2).

Чтобы упростить это дальше, можем умножить всю дробь на (3 + 5√2)/(3 + 5√2):

= (4√2 - 9)(3 + 5√2) / (3 - 5√2)(3 + 5√2).

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

= (12√2 + 20 - 27√2 - 45) / (9 - 25*2).

= (-5√2 - 25) / (-41).

Теперь делим числитель на знаменатель:

= (-5√2 - 25) / (-41).

Таким образом, ответ на первый вопрос: -5√2 - 25 / -41.

2) Теперь рассмотрим второй вопрос.

У нас дано уравнение 2sin^2(x) - 3sin(x) - 2 = 0.

Давайте решим его.

Заметим, что это квадратное уравнение относительно sin(x).

Для удобства, заменим sin(x) на переменную t.

Получим уравнение 2t^2 - 3t - 2 = 0.

Решим его с помощью квадратного трехчлена, дискриминанта и корней:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25.

D > 0, следовательно, уравнение имеет два корня.

Тогда t1,2 = (-b ± √D) / 2a = (3 ± √25) / 4 = (3 ± 5) / 4.

t1 = (3 + 5)/4 = 8/4 = 2.

t2 = (3 - 5)/4 = -2/4 = -1/2.

Теперь найдем обратные функции sin(t1) и sin(t2).

Для t1 = 2: sin(t1) = sin(2) = sin(π/3) = √3/2.

Для t2 = -1/2: sin(t2) = sin(-1/2) = -1/2.

Таким образом, корни уравнения sin(x) = √3/2 и sin(x) = -1/2 равны:

sin(x) = √3/2: x = π/3 + 2πn, где n ∈ Z.

sin(x) = -1/2: x = -π/6 + 2πn, где n ∈ Z.

Ответ на второй вопрос: x = π/3 + 2πn, x = -π/6 + 2πn.

3) Перейдем к третьему вопросу.

У нас дано уравнение tg(x) - 3tg(x) = 2.

Мы знаем, что tg(x) = sin(x) / cos(x).

Тогда наше уравнение можно переписать следующим образом:

sin(x) / cos(x) - 3sin(x) / cos(x) = 2.

Общий знаменатель у нас равен cos(x), поэтому сократим его:

sin(x) - 3sin(x) = 2cos(x).

Сократим sin(x) и получим:

-2sin(x) = 2cos(x).

Делим на 2 и получаем:

-sin(x) = cos(x).

Запишем это уравнение с помощью тригонометрической формы cos(x) = -sin(x + π/2).

Тогда наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

-sin(x) = -sin(x + π/2).

Как мы знаем, углы, для которых функции синус принимают одинаковые значения, отличаются на кратное π.

Таким образом, у нас есть два варианта:

1) x = x + π/2.

2) x = -x - π/2.

Рассмотрим первый вариант: x = x + π/2.

Получаем: 0 = π/2.

Это уравнение не может быть выполнено, так как π/2 ≠ 0.

Перейдем ко второму варианту: x = -x - π/2.

Складываем x и переносим -x на другую сторону:

2x = -π/2.

Делим обе части на 2:

x = -π/4.

Таким образом, ответ на третий вопрос: x = -π/4.

Это были все ответы на заданные вопросы. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!