1. 2sin2 x – 5sin x – 7 = 0
2. 12sin2 x + 20cos x – 19 = 0
3. 3sin2 x + 14sin x cos x + 8cos2 x = 0
4. 7 tg x – 10ctg x + 9 = 0
5. 5sin 2x – 14cos2 x + 2 = 0

Привет! Буду рад помочь вам разобраться с этими уравнениями. Они содержат тригонометрические функции, такие как синус, косинус, тангенс и котангенс. Давайте рассмотрим каждый вопрос по порядку и найдем его решение.

1. 2sin^2 x – 5sin x – 7 = 0

Для начала, давайте заменим sin x на переменную, чтобы получить квадратное уравнение. Пусть t = sin x, тогда уравнение примет вид:

2t^2 - 5t - 7 = 0

Далее, нам нужно решить это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 2, b = -5 и c = -7. Подставим значения:

D = (-5)^2 - 4(2)(-7)
D = 25 + 56
D = 81

Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два различных решения. Найдем t:

t1 = (-b + √D) / (2a)
t1 = (-(-5) + √81) / (2*2)
t1 = (5 + 9) / 4
t1 = 14 / 4
t1 = 7 / 2

t2 = (-b - √D) / (2a)
t2 = (5 - 9) / 4
t2 = -4 / 4
t2 = -1

Теперь мы получили значения t, но нам нужно найти значения x. Используя обратные тригонометрические функции, найдем их:

x1 = sin^(-1)(7/2)
x2 = sin^(-1)(-1)

2. 12sin^2 x + 20cos x – 19 = 0

Для этого уравнения, мы не можем просто заменить sin x на переменную cos x или наоборот, поэтому давайте воспользуемся тригонометрическими идентичностями. В нашем случае, мы можем использовать следующую идентичность:

sin^2 x + cos^2 x = 1

Мы можем заменить cos^2 x на (1 - sin^2 x):

12sin^2 x + 20(1 - sin^2 x) - 19 = 0

Перегруппируем и упростим уравнение:

12sin^2 x + 20 - 20sin^2 x - 19 = 0
-8sin^2 x + 1 = 0
8sin^2 x - 1 = 0

Для удобства, заменим sin^2 x на переменную, пусть u = sin^2 x:

8u - 1 = 0
8u = 1
u = 1/8

Теперь мы знаем значение u, но нам нужно найти значение sin x. Используя обратную функцию, найдем его:

x = sin^(-1)(√(1/8))

3. 3sin^2 x + 14sin x cos x + 8cos^2 x = 0

Для этого уравнения, все еще нет простого способа замены переменных, поэтому опять воспользуемся тригонометрическими идентичностями. В нашем случае, мы можем использовать следующую идентичность:

sin^2 x + cos^2 x = 1

Мы выразим sin^2 x через cos^2 x:

sin^2 x = 1 - cos^2 x

Подставим это в исходное уравнение:

3(1 - cos^2 x) + 14sin x cos x + 8cos^2 x = 0

Упростим уравнение:

3 - 3cos^2 x + 14sin x cos x + 8cos^2 x = 0
5cos^2 x + 14sin x cos x - 3 = 0

Вспомним, что cos x = √(1 - sin^2 x), заменим и упростим:

5(1 - sin^2 x) + 14sin x √(1 - sin^2 x) - 3 = 0
5 - 5sin^2 x + 14sin x √(1 - sin^2 x) - 3 = 0
2 - 5sin^2 x + 14sin x √(1 - sin^2 x) = 0

Заменим sin x на переменную, пусть y = sin x:

2 - 5y^2 + 14y √(1 - y^2) = 0

К сожалению, этот уравнение сложно решить аналитически. Однако, вы можете использовать численные методы для его решения, такие как графический метод или метод половинного деления.

4. 7tg x – 10ctg x + 9 = 0

Для удобства, заменим tg x на переменную, пусть t = tg x:

7t - 10(1/t) + 9 = 0

Умножим всё уравнение на t:
7t^2 - 10 + 9t = 0

Соберем все члены в одну сторону:
7t^2 + 9t - 10 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение, давайте решим его с помощью формулы дискриминанта. Найдем D:

D = b^2 - 4ac

a = 7, b = 9 и c = -10. Подставим значения:

D = (9)^2 - 4(7)(-10)
D = 81 + 280
D = 361

Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два различных решения. Найдем t:

t1 = (-b + √D) / (2a)
t1 = (-(9) + √361) / (2*7)
t1 = (-9 + 19) / 14
t1 = 10 / 14
t1 = 5 / 7

t2 = (-b - √D) / (2a)
t2 = (-(9) - √361) / (2*7)
t2 = (-9 - 19) / 14
t2 = -28 / 14
t2 = -2

Теперь мы получили значения t, но нам нужно найти значения x. Используя обратные тригонометрические функции, найдем их:

x1 = tg^(-1)(5/7)
x2 = tg^(-1)(-2)

5. 5sin 2x – 14cos^2 x + 2 = 0

Для удобства, заменим cos^2 x на переменную, пусть t = cos^2 x:

5sin 2x - 14t + 2 = 0

Теперь мы можем заменить sin 2x на 2sin x cos x:

10sin x cos x - 14t + 2 = 0

На данном этапе у нас две неизвестных переменных, но мы можем использовать тригонометрическую идентичность sin^2 x + cos^2 x = 1, чтобы связать их:

sin^2 x = 1 - cos^2 x
sin x = √(1 - cos^2 x)

Заменим sin x в уравнении и далее упростим:

10(√(1 - t) cos x - 14t + 2 = 0

В данном случае, решение уравнения довольно сложное и требует использования численных методов.