1.28 найдите и порядок каждой из подстановок

Для решения данной задачи нам нужно найти порядок каждой из подстановок. Для начала, давайте посмотрим на данное изображение.



На картинке показаны элементы множества A и выделены подстановки a, b, c.

1. Давайте начнем с подстановки a. Чтобы найти порядок этой подстановки, мы должны применить её последовательно снова и снова, пока не получим изначальное изображение, но при этом мы должны запоминать количество шагов, которое нам потребуется.

a = (1 3)(2 4)(5)

Давайте начнем с применения этой подстановки к числам 1, 2, 3, 4 и 5.

Применение a к 1: a(1) = 3
Применение a к 3: a(3) = 1

Таким образом, мы получаем исходное значение 1, что говорит о том, что при перестановке чисел с помощью подстановки a, мы вернулись обратно к исходному значению. Записываем это в виде a^2 = e, где e - тождественная подстановка.

Теперь посмотрим, какие значения мы получим при применении подстановки а к 2 и 4:

Применение a к 2: a(2) = 4
Применение a к 4: a(4) = 2

Таким образом, мы видим, что после двух применений подстановки a, числа 2 и 4 переходят между собой.

Следовательно, порядок подстановки а равен 2.

2. Теперь рассмотрим подстановку b:

b = (1 2 3)(4 5)

Применяя эту подстановку к числам 1, 2, 3, 4 и 5, мы получаем следующие значения:

Применение b к 1: b(1) = 2
Применение b к 2: b(2) = 3
Применение b к 3: b(3) = 1
Применение b к 4: b(4) = 5
Применение b к 5: b(5) = 4

Мы видим, что после трех применений чисел 1, 2 и 3, они возвращаются к своим исходным значениям. Также, после двух применений числа 4 и 5 меняются местами.

Следовательно, порядок подстановки b равен 3 * 2 = 6.

3. Теперь рассмотрим подстановку c:

c = (2 3)(4)

Применяя эту подстановку к числам 1, 2, 3, 4 и 5, мы получаем следующие значения:

Применение c к 1: c(1) = 1
Применение c к 2: c(2) = 3
Применение c к 3: c(3) = 2
Применение c к 4: c(4) = 4
Применение c к 5: c(5) = 5

Мы видим, что после двух применений числа 2 и 3 меняются местами. В то же время, числа 1, 4 и 5 остаются на своих местах.

Следовательно, порядок подстановки c равен 2.

Таким образом, мы нашли порядок каждой из подстановок: порядок a = 2, порядок b = 6 и порядок c = 2.