1) 2<|х+1|<5 2) 1,7<|3-х|<4 3) 2,3<|х-4|<6 4) 1,6<|х-1|<3 5)4,5<|х+3|<7 6) 3,2<|х

Пошаговое объяснение:

1) 2<|х+1|<5

Для |x+1|>2 допустим |x+1|=2

При x+1≥0: x+1=2; x₁=2-1=1

При x+1<0: -x-1=2; x₂=-2-1=-3

Проверка при x₁>1: |2+1|>2; |3|>2; 3>2; при x₂>-3: |-2+1|>2; |-1|>2; 1<2 - неравенство не выполняется.

Проверка при x₂<-3: |-4+1|>2; |-3|>2; 3>2 (если x₁>1) - неравенство выполняется.

Следовательно для |x+1|>2: -3>x>1

Для |x+1|<5 допустим |x+1|=5

При x+1≥0: x+1=5; x₁=5-1=4

При x+1<0: -x-1=5; x₂=-5-1=-6

Проверка при x₁>4: |5+1|<5; |6|<5; 6>5 - неравенство не выполняется.

Проверка при x₁<4: |3+1|<5; |4|<5; 4<5; при x₂>-6: |3+1|<5; |4|<5; 4<5 - неравенство выполняется.

Следовательно для |x+1|<5: -6<x<4

ответ: -6<x<-3∨1<x<4⇒x∈(-6; -3)∪(1; 4).

2) 1,7<|3-х|<4

Для |3-x|>1,7 допустим |3-x|=1,7

При 3-x≥0: 3-x=1,7; x₁=3-1,7=1,3

При 3-x<0: x-3=1,7; x₂=1,7+3=4,7

Проверка при x₁>1,3: |3-2|>1,7; |1|>1,7; 1<1,7 - неравенство не выполняется.

Проверка при x₁<1,3: |3-1|>1,7; |2|>1,7; 2>1,7; при x₂>4,7: |3-5|>1,7; |-2|>1,7; 2>1,7 - неравенство выполняется.

Следовательно для |3-x|>1,7: 1,3>x>4,7

Для |3-x|<4 допустим |3-x|=4

При 3-x≥0: 3-x=4; x₁=3-4=-1

При 3-x<0: x-3=4; x₂=4+3=7

Проверка при x₁>-1: |3-0|<4; |3|<4; 3<4; при x₂>7: |3-8|<4; |-5|<4; 5>4 - неравенство не выполняется.

Проверка при x₂<7: |3-0|<4; |3|<4; 3<4 (если x₁>-1) - неравенство выполняется.

Следовательно для |3-x|<4: -1<x<7

ответ: -1<x<1,3∨4,7<x<7⇒x∈(-1; 1,3)∪(4,7; 7).

3) 2,3<|х-4|<6

Для |x-4|>2,3 допустим |x-4|=2,3

При x-4≥0: x-4=2,3; x₁=2,3+4=6,3

При x-4<0: 4-x=2,3; x₂=4-2,3=1,7

Проверка при x₁>6,3: |7-4|>2,3; |3|>2,3; 3>2,3; при x₂>1,7: |2-4|>2,3; |-2|>2,3; 2<2,3 - неравенство не выполняется.

Проверка при x₂<1,7: |1-4|>2,3; |-3|>2,3; 3>2,3 (если x₁>6,3) - неравенство выполняется.

Следовательно для |x-4|>2,3: 1,7>x>6,3

Для |x-4|<6 допустим |x-4|=6

При x-4≥0: x-4=6; x₁=6+4=10

При x-4<0: 4-x=6; x₂=4-6=-2

Проверка при x₁>10: |11-4|<6; |7|<6; 7>6 - неравенство не выполняется.

Проверка при x₁<10: |9-4|<6; |5|<6; 5<6; при x₂>-2: |9-4|<6; |5|<6; 5<6 - неравенство выполняется.

Следовательно для |x-4|<6: -2<x<10

ответ: -2<x<1,7∨6,3<x<10⇒x∈(-2; 1,7)∪(6,3; 10).

4) 1,6<|х-1|<3

Для |x-1|>1,6 допустим |x-1|=1,6

При x-1≥0: x-1=1,6; x₁=1,6+1=2,6

При x-1<0: 1-x=1,6; x₂=1-1,6=-0,6

Проверка при x₁>2,6: |3-1|>1,6; |2|>1,6; 2>1,6; при x₂>-0,6: |0-1|>1,6; |-1|>1,6; 1<1,6 - неравенство не выполняется.

Проверка при x₂<-0,6: |-1-1|>1,6; |-2|>1,6; 2>1,6 (если x₁>2,6) - неравенство выполняется.

Следовательно для |x-1|>1,6: -0,6>x>2,6

Для |x-1|<3 допустим |x-1|=3

При x-1≥0: x-1=3; x₁=3+1=4

При x-1<0: 1-x=3; x₂=1-3=-2

Проверка при x₁>4: |5-1|<3; |4|<3; 4>3 - неравенство не выполняется.

Проверка при x₁<4: |3-1|<3; |2|<3; 2<3; при x₂>-2: |3-1|<3; |2|<3; 2<3 - неравенство выполняется.

Следовательно для |x-1|<3: -2<x<4

ответ: -2<x<-0,6∨2,6<x<4⇒x∈(-2; -0,6)∪(2,6; 4).

5) 4,5<|х+3|<7

Для |x+3|>4,5 допустим |x+3|=4,5

При x+3≥0: x+3=4,5; x₁=4,5-3=1,5

При x+3<0: -x-3=4,5; x₂=-4,5-3=-7,5

Проверка при x₁>1,5: |2+3|>4,5; |5|>4,5; 5>4,5; при x₂>-7,5: |-7+3|>4,5; |-4|>4,5; 4<4,5 - неравенство не выполняется.

Проверка при x₂<-7,5: |-8+3|>4,5; |-5|>4,5; 5>4,5 (если x₁>1,5) - неравенство выполняется.

Следовательно для |x+3|>4,5: -7,5>x>1,5

Для |x+3|<7 допустим |x+3|=7

При x+3≥0: x+3=7; x₁=7-3=4

При x+3<0: -x-3=7; x₂=-7-3=-10

Проверка при x₁>4: |5+3|<7; |8|<7; 8>7 - неравенство не выполняется.

Проверка при x₁<4: |3+3|<7; |6|<7; 6<7; при x₂>-10: |3+3|<7; |6|<7; 6<7 - неравенство выполняется.

Следовательно для |x+3|<7: -10<x<4

ответ: -10<x<-7,5∨1,5<x<4⇒x∈(-10; -7,5)∪(1,5; 4).

6) 3,2<|х+2|<6

Для |x+2|>3,2 допустим |x+2|=3,2

При x+2≥0: x+2=3,2; x₁=3,2-2=1,2

При x+2<0: -x-2=3,2; x₂=-3,2-2=-5,2

Проверка при x₁>1,2: |2+2|>3,2; |4|>3,2; 4>3,2; при x₂>-5,2: |-5+2|>3,2; |-3|>3,2; 3<3,2 - неравенство не выполняется.

Проверка при x₂<-5,2: |-6+2|>3,2; |-4|>3,2; 4>3,2 (если x₁>1,2) - неравенство выполняется.

Следовательно для |x+2|>3,2: -5,2>x>1,2

Для |x+2|<6 допустим |x+2|=6

При x+2≥0: x+2=6; x₁=6-2=4

При x+2<0: -x-2=6; x₂= -6-2=-8

Проверка при x₁>4: |5+2|<6; |7|<6; 7>6 - неравенство не выполняется.

Проверка при x₁<4: |3+2|<6; |5|<6; 5<6; при x₂>-8: |3+2|<6; |5|<6; 5<6 - неравенство выполняется.

Следовательно для |x+2|<6: -8<x<4

ответ: -8<x<-5,2∨1,2<x<4⇒x∈(-8; -5)∪(1,2; 4)